1990-全国卷理-09 单-集合的运算

本题导读

本题考查集合的运算（并集、补集），以及点集的概念。

📌【题干】

Question

（1990年全国卷(理)） 设全集 $I=\{(x,y)|x,y\in \mathbf{R}\}$，集合 $M=\left\{(x,y)|\frac{y-3}{x-2}=1\right\}$，$N=\{(x,y)|y\ne x+1\}$.那么 $M\cap N$ 等于 ()

A. $\varnothing$　　　　　B. $\{(2,3)\}$　　　　　C. $(2,3)$　　　　　D. $\{(x,y)|y=x+1\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简集合 $M$：由分式方程 $\frac{y-3}{x-2}=1$ 可得 $y-3=x-2$，且必须满足分母不为零的条件，即 $x\ne 2$．
2. 应用摩根定律：目标计算 $\overline{M\cup N}$，根据集合运算律可知 $\overline{M\cup N}=\overline{M}\cap \overline{N}$．
3. 求补集并取交集：分别求出 $M$ 和 $N$ 在全集 $I$ 中的补集，再寻找两补集的交集，确定最终的坐标点。

✍ 【详细解析】

解：首先化简集合 $M$． 由 $\frac{y-3}{x-2}=1$ 得： $y-3=x-2⟹y=x+1$ 由于分式分母不能为零，故 $x-2\ne 0⟹x\ne 2$． 将 $x=2$ 代入 $y=x+1$ 得 $y=3$． 因此，集合 $M$ 表示直线 $y=x+1$ 上除去点 $(2,3)$ 后剩余的所有点构成的点集。 其补集为直线 $y=x+1$ 之外的所有点，以及点 $(2,3)$： $\overline{M}=\{(x,y)|y\ne x+1\}\cup \{(2,3)\}$

再来看集合 $N$． 已知 $N=\{(x,y)|y\ne x+1\}$，则其补集为： $\overline{N}=\{(x,y)|y=x+1\}$

根据德·摩根定律，目标式可化为： $\overline{M\cup N}=\overline{M}\cap \overline{N}$

将 $\overline{M}$ 与 $\overline{N}$ 取交集： $\overline{N}$ 是直线 $y=x+1$ 上的所有点； $\overline{M}$ 是直线 $y=x+1$ 之外的所有点与孤立点 $(2,3)$ 的并集。 两者的公共部分只有孤立点 $(2,3)$． 即： $\overline{M}\cap \overline{N}=\{(2,3)\}$

故正确选项为 (B)．

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点集的补集与交集运算，分式方程转化中的等价性。
2. 核心方法：
   • 德·摩根定律法：将复杂的并集求补 $\overline{M\cup N}$ 转化为两补集求交 $\overline{M}\cap \overline{N}$，可以大幅简化思维流程。
   • 数形结合法：在平面直角坐标系中，全集 $I$ 为整个平面．$N$ 为直线 $y=x+1$ 以外的区域；$M$ 为直线 $y=x+1$ 除去点 $(2,3)$．则 $M\cup N$ 包含了除点 $(2,3)$ 之外的整个平面，因此其余角的补集自然只剩下点 $(2,3)$．
3. 避坑指南：
   • 容易忽略分母不为零的条件：若漏掉 $x\ne 2$，会误认为 $M$ 就是整个直线 $y=x+1$，从而得出 $M\cup N=I$，导致错选 (A)．
   • 注意集合的表示元素：本题集合的元素是坐标集（点集），结果必须用集合符号 $\{\}$ 包裹。选项 (C) 的 $(2,3)$ 表示的是区间或单独的一个元素，不符合集合的规范表达。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于集合大类中的经典“陷阱题”，源于教材中对分式方程同解变形以及集合表示方法的考查。它创造性地将解析几何中的直线轨迹与抽象代数中的补集运算结合在一起。
2. 结论推广：设全集为平面点集 ${\mathbf{R}}^2$．若解析式 $f(x,y)=0$ 在满足限制条件 $g(x,y)\ne 0$ 时的解集为 $M$，而在满足 $g(x,y)=0$ 且 $f(x,y)=0$ 时的唯一点为 $P$．若设 $N$ 为 $f(x,y)\ne 0$ 的所有点，则必有恒等式 $\overline{M\cup N}=\{P\}$．

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1992-三南-13 单-集合的运算
• 1991-全国卷理-15 单-集合的运算
• 1991-上海-11 单-集合的交集运算