1991-全国文-18 填-对数不等式的求解

本题导读

本题考查对数不等式的求解，以及把对数不等式转化为整式不等式。

📌【题干】

Question

（1991年全国卷(文)） 不等式 $\lg (x^2+2x+2)<1$ 的解集是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

真数恒正，$\lg (x^2+2x+2)<1\Rightarrow x^2+2x+2<10$。

✅【答案】

Success

$(-4,2)$

✍【详细解析】

Abstract

因 $x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1>0$ 恒成立，且常用对数递增，原不等式等价于 $x^2+2x+2<10$，即 $x^2+2x-8<0$。因式分解得 $(x+4)(x-2)<0$，解集为 $(-4,2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数不等式的求解

核心方法：$x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1>0$，$\lg (x^2+2x+2)<1\Rightarrow x^2+2x-8<0$，$(-4,2)$

避坑指南：对数化一元二次

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数不等式的求解

结论推广：$\lg f(x)<1\Rightarrow 0<f(x)<10$

方法推广：对数化整式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-20 解-含参对数不等式
• 1995-全国卷文-16 填-对数方程的求解
• 1992-全国文-07 单-对数不等式与底数