1995-全国卷文-11 单-对数型复合函数的单调性

本题导读

本题考查对数型复合函数的单调性，以及”同增异减”法则的应用。

📌【题干】

Question

（1995年全国卷(文)） 已知 $y={\log }_a(2-x)$ 是 $x$ 的增函数，则 $a$ 的取值范围是 ()

A.$(0,2)$　　B.$(0,1)$　　C.$(1,2)$　　D.$(2,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 内层 $u=2-x$ 是减函数。
2. 复合后为增，须外层递减，即 $0<a<1$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

内层 $u=2-x$ 关于 $x$ 递减。复合函数”同增异减”：要使 $y={\log }_a(2-x)$ 为增函数，外层 $y={\log }_{a}u$ 须为减函数，故 $0<a<1$。此时对定义域内每一点 $2-x>0$ 均有意义。故 $a\in (0,1)$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数型复合函数的单调性

核心方法：内层 $u=2-x$ 递减，复合为增须外层递减，$0<a<1$，选 B

避坑指南：同增异减判单调

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材复合函数的单调性

结论推广：一般地，复合函数”同增异减”，且须兼顾真数（或根号内）的限制

方法推广：同增异减

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1996-全国卷文-20 解-含参对数不等式
• 1996-上海文-09 填-对数方程的求解
• 1997-上海文-15B 填-函数的单调区间