1992-全国卷理-16 单-反函数与奇偶性

本题导读

本题考查反函数的概念与性质，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（1992年全国卷(理)） 函数 $y=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$的反函数 ()

A. 是奇函数，它在 $(0,+\infty )$ 上是减函数

B. 是偶函数，它在 $(0,+\infty )$ 上是减函数

C. 是奇函数，它在 $(0,+\infty )$ 上是增函数

D. 是偶函数，它在 $(0,+\infty )$ 上是增函数

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析原函数的奇偶性：设原函数 $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$。计算 $f(-x)$ 并与 $f(x)$ 比较。由于 $f(-x)=-f(x)$，判定原函数为奇函数。根据性质，奇函数的反函数同样具有奇偶性，且必为奇函数。由此排除 B、D。
2. 分析原函数的单调性：由于 $y={\mathrm{e}}^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增， $y=-{\mathrm{e}}^{-x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上也单调递增，根据“增函数 + 增函数 = 增函数”的性质，可知原函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格单调递增的。
3. 推导反函数的单调性：根据反函数的单调性定理，若原函数在某区间上严格单调递增，则其反函数在其对应的值域（即反函数的定义域）上同样严格单调递增。由此锁定正确选项。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据函数性质，我们对原函数 $f(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$（即双曲正弦函数 $\sinh x$）进行定性分析：

1. 奇偶性分析： 原函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}$，关于原点对称。 $f(-x)=\frac{{\mathrm{e}}^{-x}-{\mathrm{e}}^{-(-x)}}{2}=\frac{{\mathrm{e}}^{-x}-{\mathrm{e}}^x}{2}=-\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}=-f(x)$ 因此，原函数 $f(x)$ 是奇函数。 根据反函数的性质，若一个互为单射的函数是奇函数，则它的反函数 $f^{-1}(x)$ 也必然是奇函数。 （排除 B、D 选项）

2. 单调性分析： 因为底数 $\mathrm{e}>1$，所以指数函数 $y_1={\mathrm{e}}^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增； 而 $y_2={\mathrm{e}}^{-x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减，故其相反数 $y_3=-{\mathrm{e}}^{-x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。 根据复合函数及同号相加原则，原函数 $f(x)=\frac{1}{2}(y_1+y_3)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是单调递增函数。

   由于原函数与反函数在对应区间上的单调性完全相同（即同增同减），所以原函数 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)$ 在其定义域 $\mathbf{R}$ 上也必然是单调递增函数。 它在区间 $(0,+\infty )$ 上也一定是单调递增函数。 （排除 A 选项）

综上所述，该函数的反函数是奇函数，且在 $(0,+\infty )$ 上是增函数。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：原函数与反函数的对称性与几何投影关系：
   • 奇偶性：原函数是奇函数 $⟺$ 反函数是奇函数。
   • 单调性：原函数在区间内递增（减） $⟺$ 反函数在对应区间内递增（减）。
2. 核心方法：性质平移法。直接通过原函数的特质推出反函数的特质，这是解答此类选择题最快、最不容易出错的高维方法。
3. 避坑指南：
   • 误认为原函数与反函数的单调性相反。部分考生容易受到“互为倒数”或“关于 $y=x$ 对称”的直觉误导，误以为原函数递增则反函数递减，从而错选 A。
   • 避免硬算（硬解法）：若本题试图先解出反函数的具体解析式：令 $y=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}⟹2y={\mathrm{e}}^x-\frac{1}{{\mathrm{e}}^x}⟹({\mathrm{e}}^x{)}^2-2y({\mathrm{e}}^x)-1=0$。利用求根公式解得 ${\mathrm{e}}^x=y+\sqrt{y^2+1}$（负根舍去），进而得到反函数 $f^{-1}(x)=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$（即反双曲正弦函数 $\mathrm{arsinh}x$）。再对该对数复合函数去判定奇偶性和求导分析单调性。这种解法不仅计算量极大，而且极易在考场高压环境下发生运算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于反函数概念的经典定性辨析题。直接取材于高中数学必修中“反函数的性质”一节中关于原反函数图象及性质特征关系的综合对比。
2. 结论推广：高等数学中的双曲函数系列具有非常完美的对称规律。本题中 $y=\sinh x=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$ 为双曲正弦函数，其反函数 $y=\mathrm{arsinh}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$ 称为反双曲正弦函数。它们在全实数集上均保持奇函数与严格单调递增的形态，这与普通三角函数中的正弦与反正弦函数在主值区间内的性质高度相似。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1993-上海-05 填-反余弦函数的反函数

• 1998-全国卷文-05 单-反函数的求法

• 1995-全国卷文-11 单-对数型复合函数的单调性