1998-全国卷文-05 单-反函数的求法

本题导读

本题考查反函数的求法，以及由原函数解析式交换变量得到反函数。

📌【题干】

Question

（1998年全国卷(文)） 函数 $f(x)=\frac{1}{x}$（$x\ne 0$）的反函数 $f^{-1}(x)=$()

A. $x$（$x\ne 0$）　　　B. $\frac{1}{x}$（$x\ne 0$）　　　C. $-x$（$x\ne 0$）　　　D. $-\frac{1}{x}$（$x\ne 0$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $y=f(x)=\frac{1}{x}$，解出 $x$。
2. 交换 $x,y$ 得反函数。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

令 $y=f(x)=\frac{1}{x}$，则 $x=\frac{1}{y}$。由于 $x\ne 0$，有 $y\ne 0$；交换 $x,y$ 后仍得 $y=\frac{1}{x}$。所以 $f^{-1}(x)=\frac{1}{x}$（$x\ne 0$），选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的求法

核心方法：$f(x)=\frac{1}{x}$ 交换 $x,y$ 后仍为 $y=\frac{1}{x}$，故 $f^{-1}(x)=\frac{1}{x}(x\ne 0)$，选 B

避坑指南：交换自变量因变量

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于教材反函数的概念

结论推广：一般地，$y=f(x)$ 交换 $x,y$ 解出 $y$ 即得反函数

方法推广：交换自变量因变量

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 1999-全国卷文-03 单-反函数值的求法
• 2001-大纲文-06 单-指数函数的反函数
• 2004-全国卷III文-03 单-反函数求值