1990-上海卷-20 单-函数的单调性

本题导读

本题考查反三角函数的定义域与值域，以及三角函数与反三角函数的复合函数化简。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 下列四个函数中，在定义域内不具有单调性的函数是 ()

A. $y=\cot (\arccos x)$　　　　　B. $y=\tan (\arcsin x)$　　　　　C. $y=\sin (\arctan x)$　　　　　D. $y=\cos (\arctan x)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 审清题意：要求选出在定义域内不具有单调性（即不是严格单调递增也不是严格单调递减）的函数。
2. 基本元代换化简：对于这类三角与反三角复合的函数，标准做法是利用“勾股弦切关系”将其化简为普通的代数式。例如令内部的角为 $\theta$，通过直角三角形边角关系表示出外层函数。
3. 确定定义域并判定单调性：
   • 化简后，应优先提取原复合函数真正的定义域。
   • 分析化简后的代数式在定义域内的图象或导数正负，判断其是否在全域单调。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

(A) 选项分析： 令 $\theta =\arccos x$，根据反余弦函数的性质， $x\in [-1,1]$ 且 $\theta \in [0,\pi ]$。 则 $\cos \theta =x$。根据同角三角函数基本关系， $\sin \theta =\sqrt{1-x^2}$（在 $[0,\pi ]$ 内正弦值非负）。 从而： $y=\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ 由于分母不能为 0，该函数的定义域为 $x\in (-1,1)$。 分子 $x$ 单调递增，分母 $\sqrt{1-x^2}$ 在 $(-1,0)$ 递增、在 $(0,1)$ 递减，复合后的分式 $y=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ 在整个定义域 $(-1,1)$ 内表现为严格单调递增。具有单调性。

(B) 选项分析： 令 $\theta =\arcsin x$，则 $x\in [-1,1]$ 且 $\theta \in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$。 则 $\sin \theta =x$， 从而 $\cos \theta =\sqrt{1-x^2}$。 得到： $y=\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ 该函数的定义域同样为 $x\in (-1,1)$，其代数结构与 (A) 完全一致，在全域内严格单调递增。具有单调性。

(C) 选项分析： 令 $\theta =\arctan x$，则 $x\in \mathbf{R}$ 且 $\theta \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$。 则 $\tan \theta =x$。借助直角三角形（对边为 $x$，邻边为 1，斜边为 $\sqrt{1+x^2}$），可得： $y=\sin \theta =\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ 该函数的定义域为 $x\in \mathbf{R}$。 对其求导或进行性质分析可知：当 $x\to -\infty$ 时 $y\to -1$，当 $x\to +\infty$ 时 $y\to 1$，且导数 $y^{\prime }=\frac{1}{(1+x^2{)}^{3/2}}>0$ 恒成立。 因此，该函数在 $\mathbf{R}$ 上严格单调递增。具有单调性。

(D) 选项分析： 令 $\theta =\arctan x$，则 $x\in \mathbf{R}$ 且 $\theta \in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$。 则 $\tan \theta =x$。同样建立直角三角形关系，外层函数为： $y=\cos \theta =\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ 该函数的定义域为 $x\in \mathbf{R}$。

分析其代数性质：这是一个典型的偶函数（关于 $y$ 轴对称）。

• 当 $x\in (-\infty ,0]$ 时， $x^2$ 单调递减，分母 $\sqrt{1+x^2}$ 单调递减，倒数 $y$ 单调递增；
• 当 $x\in [0,+\infty )$ 时， $x^2$ 单调递增，分母 $\sqrt{1+x^2}$ 单调递增，倒数 $y$ 单调递减。 由于函数在全域内先增后减，因此在整个定义域 $\mathbf{R}$ 内不具有单调性。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反三角复合函数的无理代数化变换，函数单调性的全域要求，偶函数的单调性对称特征。
2. 核心方法：
   • 直观构造三角形法：处理 $\sin (\arctan x)$ 或 $\cos (\arctan x)$ 时，在草稿纸上画一个直角三角形，将 $\theta$ 的对边设为 $x$，邻边设为 1，斜边自然为 $\sqrt{1+x^2}$。通过这个几何模型，可以瞬间写出任意三角因子的化简结果，免去了繁琐的公式推导。
3. 避坑指南：
   • 概念理解偏差（全域与局部）：部分考生认为 (D) 选项在 $x>0$ 时递减，也是有单调性的。注意题目要求的是“在定义域内具有单调性”，这意味着必须在全域表现为单一方向的增或减，分段增减的图象不叫“具有单调性”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于反三角函数章节的高阶综合题，源自微积分预备卷中对“非线性复合函数图象推广形态”的深度考查，旨在测试学生打破三角符号壁垒的数形结合功底。
2. 结论推广：本题中 (D) 选项化简出的代数模型 $y=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ 在高等数学和物理学中极具价值。
   • 它的几何图象呈现为一条平滑的“钟形曲线”（类似于高斯正态分布曲线）。
   • 在电磁学中，它常用来描述无限长载流导线在其轴向外侧产生的磁感应强度的空间衰减分布；在概率论中，它是经典的柯西分布（Cauchy Distribution）的核心概率密度构型。这类函数的中间极值对称性，决定了其天然无法在全实数域上维持单一的单调性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1992-上海-12 单-函数的单调性
• 1992-三南-16 单-奇函数的性质
• 1992-全国卷理-16 单-反函数与奇偶性