1992-三南-16 单-奇函数的性质

本题导读

本题考查奇函数的性质，以及利用 $f(-x)=-f(x)$ 进行变形判断。

📌【题干】

Question

（1992年三南） 对于定义域是 $\mathbf{R}$ 的任何奇函数 $f(x)$，都有 ()

A. $f(x)-f(-x)>0(x\in \mathbf{R})$　　　　　　　　　　　　B. $f(x)-f(-x)\le 0(x\in \mathbf{R})$

C. $f(x)f(-x)\le 0(x\in \mathbf{R})$　　　　　　　　　　　　　D. $f(x)f(-x)>0(x\in \mathbf{R})$

🔍【思路分析】

破题导航

奇函数 $f(-x)=-f(x)$，故 $f(x)f(-x)=-f(x{)}^2\le 0$ 恒成立。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f$ 是奇函数，所以 $f(-x)=-f(x)$，故 $f(x)f(-x)=-f(x{)}^2\le 0$ 对任意 $x\in \mathbf{R}$ 都成立，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数的性质

核心方法：$f(x)f(-x)=-f(x{)}^2\le 0$

避坑指南：奇函数 $f(-x)=-f(x)$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇函数的性质

结论推广：$f(-x)=-f(x)$ 推出 $f(x)f(-x)\le 0$

方法推广：定义代入

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1994-全国卷文-15 单-奇函数偶函数的分解
• 1996-上海文-06 单-奇函数的充要条件
• 1996-全国卷文-15 单-奇函数的周期求值