1990-上海卷-25 解-含参不等式的求解

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法（因式分解）。核心在于根的分布特征法、边界不等式组法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1990年上海卷） 关于实数 $x$ 的不等式 $\left|x-\frac{(a+1{)}^2}{2}\right|\le \frac{(a-1{)}^2}{2}$ 与 $x^2-3(a+1)x+2(3a+1)\le 0$（其中 $a\in \mathbf{R}$）的解集依次记为 $A$ 与 $B$.求使 $A\subseteq B$ 的 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 精确化简解集 $A$：
   • 根据绝对值不等式性质 $|x-m|\le d⟺m-d\le x\le m+d$，直接对第一个不等式去绝对值符号。
   • 利用平方差公式或展开多项式，计算出解集 $A$ 的两个具体端点，化简得到一个确定的闭区间。
2. 因式分解化简解集 $B$：
   • 观察一元二次不等式 $x^2-3(a+1)x+2(3a+1)\le 0$。通过十字相乘法对其常数项 $2(3a+1)=2\times (3a+1)$ 进行拆分。
   • 检查这两部分的和是否刚好等于一次项系数的相反数 $3(a+1)=3a+3$，完成因式分解。由于 $a$ 的大小未知，需要对两个根的大小进行定性比较以写出区间形式。
3. 转化子集限制条件：
   • 限制条件 $A\subseteq B$ 意味着区间 $A$ 必须完全被包含在区间 $B$ 内部。
   • 在数轴上，这等价于“区间 $B$ 的左端点 $\le$ 区间 $A$ 的左端点”且“区间 $A$ 的右端点 $\le$ 区间 $B$ 的右端点”。建立关于参数 $a$ 的复合不等式组，分区间求解。

✅【答案】

Success

$a\in \{-1\}\cup [1,3]$

✍【详细解析】

Abstract

一、 求解集 $A$ 由第一个不等式 $\left|x-\frac{(a+1{)}^2}{2}\right|\le \frac{(a-1{)}^2}{2}$，去绝对值号得： $-\frac{(a-1{)}^2}{2}\le x-\frac{(a+1{)}^2}{2}\le \frac{(a-1{)}^2}{2}$ 各项同时加上 $\frac{(a+1{)}^2}{2}$，得： $\frac{(a+1{)}^2-(a-1{)}^2}{2}\le x\le \frac{(a+1{)}^2+(a-1{)}^2}{2}$

展开多项式分子进行化简：

• 左端项： $(a^2+2a+1)-(a^2-2a+1)=4a$，除以 2 得 $2a$；
• 右端项： $(a^2+2a+1)+(a^2-2a+1)=2a^2+2$，除以 2 得 $a^2+1$．

因此，解集 $A$ 为： $A=[2a,a^2+1]$ (注：因为 $(a^2+1)-2a=(a-1{)}^2\ge 0$，所以对任意实数 $a$，恒有 $2a\le a^2+1$，集合 $A$ 绝不为空集)

二、 求解集 $B$ 对于第二个不等式 $x^2-3(a+1)x+2(3a+1)\le 0$，将其一次项展开为 $-(3a+3)x$。 尝试对常数项进行十字相乘分解： $2(3a+1)=2\times (3a+1)$。 由于 $(-2)+[-(3a+1)]=-3a-3=-(3a+3)$，刚好契合一次项系数。 故不等式可因式分解为： $(x-2)[x-(3a+1)]\le 0$

该一元二次方程的两个根分别为 $2$ 和 $3a+1$。其解集区间依赖于两个根的大小关系，需对 $a$ 进行分类讨论：

1. 当 $2<3a+1⟹3a>1⟹a>\frac{1}{3}$ 时，解集为： $B=[2,3a+1]$
2. 当 $2=3a+1⟹a=\frac{1}{3}$ 时，不等式变为 $(x-2{)}^2\le 0$，解集为单元素集： $B=\{2\}$
3. 当 $2>3a+1⟹a<\frac{1}{3}$ 时，解集为： $B=[3a+1,2]$

三、 根据 $A\subseteq B$ 求 $a$ 的取值范围

我们依据上述 $B$ 集合的三种状态分别讨论：

情况 1：当 $a>\frac{1}{3}$ 时 此时 $A=[2a,a^2+1]$， $B=[2,3a+1]$。 要使 $A\subseteq B$，必须满足边界不等式组： $\{\begin{array}{ll}2\le 2a& \text{(1)}\\ a^2+1\le 3a+1& \text{(2)}\end{array}$

• 由①式得： $a\ge 1$；
• 由②式移项得： $a^2-3a\le 0⟹a(a-3)\le 0⟹0\le a\le 3$。 取交集并结合大前提 $a>\frac{1}{3}$，得到此种情况下的范围为： $1\le a\le 3\text{布局甲}$

情况 2：当 $a=\frac{1}{3}$ 时 此时 $A=\left[\frac{2}{3},\frac{10}{9}\right]$，而 $B=\{2\}$。 集合 $A$ 不是 $B$ 的子集，此情况无解。

情况 3：当 $a<\frac{1}{3}$ 时 此时 $A=[2a,a^2+1]$， $B=[3a+1,2]$。 要使 $A\subseteq B$，必须满足边界不等式组： $\{\begin{array}{ll}3a+1\le 2a& \text{(3)}\\ a^2+1\le 2& \text{(4)}\end{array}$

• 由③式移项直接得： $a\le -1$；
• 由④式移项得： $a^2\le 1⟹-1\le a\le 1$。 取交集并结合大前提 $a<\frac{1}{3}$，得到此种情况下的范围为： $a=-1\text{布局乙}$

四、 统合最终结果 综合情况1与情况3所求得的并集： $a=-1\text{或}1\le a\le 3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含参数一元二次不等式的根轴因式分解，闭区间包含关系的端点不等式建模，多层次分类讨论的逻辑完备性。
2. 核心方法：
   • 端点控制法：将集合包含关系 $A\subseteq B$（其中 $A=[x_1,x_2],B=[y_1,y_2]$）等价翻译为 $\{\begin{array}{l}{y}_1\le x_1\\ x_2\le y_2\end{array}$。无需考虑复杂的几何干涉，直接用边界代数式进行硬控。
3. 避坑指南：
   • 一元二次方程因式分解卡壳：很多考生看到二次项系数含参数 $3(a+1)$ 就习惯性去算 $\Delta$，导致公式臃肿不堪。必须敏锐观察常数项 $2(3a+1)$ 的组合形态，优先尝试十字相乘。
   • 遗漏 $a<\frac{1}{3}$ 分支下的单点解：在情况3中，解出 $a\le -1$ 与 $-1\le a\le 1$ 的交集是孤立的一个点 $a=-1$。部分考生会惯性认为区间交集一定是一个范围，从而怀疑自己的计算或者直接漏掉 $a=-1$ 这个极其重要的精彩解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于代数不等式与集合交汇的综合大题，源自教材中“一元二次不等式解法”与“集合基本关系”的拔高训练，用以全面考察高考生在多参数制约下严密的代数推演水平。
2. 结论推广：本题本质上探寻的是两个含参无因次区间之间的推广包含相交动力学。若将问题进一步一般化，设区间 $A(a)$ 对应某个动力学控制器的稳定域，区间 $B(a)$ 对应系统的安全载荷域。则条件 $A\subseteq B$ 对应的代数解集（如本题中的离散点与连续区间的并集特征），正是现代鲁棒控制理论（Robust Control）中用以确定控制器在最坏工况参数波动下，系统永不发生失稳崩溃的**安全参数域（Safe Parameter Regime）**设计范式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1991-上海-23 解-含参对数不等式的求解
• 1992-三南-08 单-含绝对值的根式不等式
• 1991-三南-26 解-根式不等式的求解