1999-全国卷理-19 解-对数型无理不等式

本题导读

本题考查无理不等式的解法。核心在于换元法与分类讨论法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)） 解不等式：$\sqrt{3{\log }_{a}x-2}<2{\log }_{a}x-1(a>0,a\ne 1)$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 换元化简：观察不等式结构，包含 ${\log }_{a}x$，可设 $t={\log }_{a}x$。原不等式化为 $\sqrt{3t-2}<2t-1$。
2. 解无理不等式：将 $\sqrt{f(t)}<g(t)$ 转化为等价的不等式组：$\{\begin{array}{l}f(t)\ge 0\\ g(t)>0\\ f(t)<[g(t){]}^2\end{array}$。解出 $t$ 的范围。
3. 分类讨论解对数不等式：将 $t$ 的范围还原为 ${\log }_{a}x$ 的范围。根据底数 $a$ 的取值范围（$a>1$ 或 $0<a<1$），利用对数函数的单调性解出 $x$。

✅【答案】

Success

当 $a>1$ 时，解集为 $\{x\mid a^{\frac{2}{3}}\le x<a^{\frac{3}{4}}\text{ 或 }x>a\}$

当 $0<a<1$ 时，解集为 $\{x\mid 0<x<a\text{ 或 }{a}^{\frac{3}{4}}<x\le a^{\frac{2}{3}}\}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $t={\log }_{a}x$，则原不等式化为： $\sqrt{3t-2}<2t-1$

该无理不等式等价于以下不等式组： $\{\begin{array}{l}3t-2\ge 0\\ 2t-1>0\\ 3t-2<(2t-1{)}^2\end{array}$

分别解不等式组中的三个不等式： 由①得：$t\ge \frac{2}{3}$ 由②得：$t>\frac{1}{2}$ 由③展开得：$3t-2<4t^2-4t+1⟹4t^2-7t+3>0⟹(4t-3)(t-1)>0$ 解得：$t<\frac{3}{4}$ 或 $t>1$

综合①、②、③的解集，求交集： $t\ge \frac{2}{3}$ 且 ($t<\frac{3}{4}$ 或 $t>1$) 得到 $t$ 的取值范围为：$\frac{2}{3}\le t<\frac{3}{4}$ 或 $t>1$

将 $t={\log }_{a}x$ 代回： $\frac{2}{3}\le {\log }_{a}x<\frac{3}{4}\text{或}{\log }_{a}x>1$

接下来对底数 $a$ 进行分类讨论：

情形一：当 $a>1$ 时 对数函数 $y={\log }_{a}x$ 单调递增。 由 $\frac{2}{3}\le {\log }_{a}x<\frac{3}{4}$ 得：$a^{\frac{2}{3}}\le x<a^{\frac{3}{4}}$ 由 ${\log }_{a}x>1$ 得：$x>a$ 此时不等式的解集为 $\{x\mid a^{\frac{2}{3}}\le x<a^{\frac{3}{4}}\text{ 或 }x>a\}$。

情形二：当 $0<a<1$ 时 对数函数 $y={\log }_{a}x$ 单调递减。 由 $\frac{2}{3}\le {\log }_{a}x<\frac{3}{4}$ 得：$a^{\frac{3}{4}}<x\le a^{\frac{2}{3}}$ 由 ${\log }_{a}x>1$ 得：$0<x<a$ (注意真数 $x>0$) 此时不等式的解集为 $\{x\mid 0<x<a\text{ 或 }{a}^{\frac{3}{4}}<x\le a^{\frac{2}{3}}\}$。

综上所述， 当 $a>1$ 时，原不等式的解集为 $\{x\mid a^{\frac{2}{3}}\le x<a^{\frac{3}{4}}\text{ 或 }x>a\}$； 当 $0<a<1$ 时，原不等式的解集为 $\{x\mid 0<x<a\text{ 或 }{a}^{\frac{3}{4}}<x\le a^{\frac{2}{3}}\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：形如 $\sqrt{f(x)}<g(x)$ 的无理不等式的等价转化；对数函数单调性的分类讨论。
2. 避坑指南：

• 无理不等式转化不全：解 $\sqrt{f(t)}<g(t)$ 时，切记必须包含 $f(t)\ge 0$ （被开方数非负）和 $g(t)>0$ （右侧大于左侧非负数），不能直接两边平方。
• 忽略底数分类讨论：解含参对数不等式时，必须根据底数大于1和介于0到1之间分类，改变不等号方向。
• 忽略真数大于0：在 $0<a<1$ 情况下解 ${\log }_{a}x>1$ 时，容易写成 $x<a$，漏掉定义域 $x>0$，正确写法应为 $0<x<a$。

📖【试题探源与推广】

Tip

所以t∈[23, 34) ∪(1, +∞)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-19 解-对数不等式的恒成立
• 1990-广东文-31 解-对数函数的定义域与不等式
• 2020-新课标II文-12 单-对数不等式