1999-全国卷理-22 解-冷轧机的数列模型

本题导读

本题考查不等式的实际应用。核心在于数学建模法与体积守恒法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（1999年全国卷(理)） 如图为一台冷轧机的示意图. 冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出.

(1) 输入带钢的厚度为 $\alpha$，输出带钢的厚度为 $\beta$，若每对轧辊的减薄率不超过 $r_0$. 问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？ (一对轧辊减薄率 $=\frac{\text{输入该对的带钢厚度}-\text{从该对输出的带钢厚度}}{\text{输入该对的带钢厚度}}$)

(2) 已知一台冷轧机共有4对减薄率为 $20\%$ 的轧辊，所有轧辊周长均为1600. 若第 $k$ 对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为 $L_k$. 为了便于检修，请计算 $L_1$、$L_2$、$L_3$ 并填入下表 (轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗).

轧辊序号	1	2	3	4
疵点间距 $L_k/\text{mm}$				1600

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据减薄率定义，输出厚度等于输入厚度乘以 $(1-r)$。设最少需要 $n$ 对轧辊，当每次减薄率均取最大值 $r_0$ 时 $n$ 最小，列出关于 $n$ 的指数不等式并两边取对数求解。
2. 根据“带钢宽度不变且不考虑损耗”，得出带钢任意两截面间的“长度与厚度之积为定值”。第 $k$ 对轧辊输出的疵点间距即为其周长 $1600$，利用厚度的等比关系求出最终输出时的间距 $L_k$。

✅【答案】

Success

(1) 至少安装 $\lceil \frac{\lg \beta -\lg \alpha }{\lg (1-r_0)}\rceil$ 对轧辊

(2) $L_1=3125$ mm，$L_2=2500$ mm，$L_3=2000$ mm

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求解最少轧辊对数 设冷轧机至少需要安装 $n$ 对轧辊。为使轧辊对数最少，每对轧辊的减薄率应取最大允许值 $r_0$。 根据减薄率公式 $r=\frac{h_{in}-h_{out}}{h_{in}}$，可得 $h_{out}=h_{in}(1-r)$。 带钢经过 $n$ 对轧辊后，最终输出厚度为 $\alpha (1-r_0{)}^n$。 要求最终输出厚度达到或小于 $\beta$，则有： $\alpha (1-r_0{)}^n\le \beta$ 即 $(1-r_0{)}^n\le \frac{\beta }{\alpha }$。 两边取常用对数，由于 $0<1-r_0<1$，故 $\lg (1-r_0)<0$，不等号方向改变： $n\lg (1-r_0)\le \lg \frac{\beta }{\alpha }⟹n\ge \frac{\lg \frac{\beta }{\alpha }}{\lg (1-r_0)}$ 故冷轧机至少需要安装 $\lceil \frac{\lg (\beta /\alpha )}{\lg (1-r_0)}\rceil$ 对轧辊（即不小于该值的最小整数）。

(2) 计算疵点间距 依题意，带钢宽度不变且无损耗，根据体积守恒原理，对带钢任意微元段，其“长度 $\times$ 厚度 $=$ 定值”。 设第 $i$ 对轧辊输出的带钢厚度为 $h_i$。因减薄率恒为 $20\%$，则 $h_i=h_{i-1}(1-0.2)=0.8h_{i-1}$。 第 $k$ 对轧辊周长为 $1600$，即疵点在第 $k$ 对轧辊刚压出时的物理间距为 $d_k=1600\text{ mm}$，此时该段带钢厚度为 $h_k$。 当该段带钢从第4对轧辊最终输出时，厚度变为 $h_4$，间距伸长为 $L_k$。 由体积守恒得： $d_k\cdot h_k=L_k\cdot h_4$ $L_k=d_k\cdot \frac{h_k}{h_4}=1600\cdot \frac{h_k}{h_k\cdot 0.8^{4-k}}=\frac{1600}{0.8^{4-k}}=1600\times 1.25^{4-k}$ 分别代入 $k=3,2,1$： 当 $k=3$ 时，$L_3=1600\times 1.25^1=2000\text{ mm}$； 当 $k=2$ 时，$L_2=1600\times 1.25^2=2500\text{ mm}$； 当 $k=1$ 时，$L_1=1600\times 1.25^3=1600\times \frac{125}{64}=3125\text{ mm}$。

填表数据为：$L_1=3125$，$L_2=2500$，$L_3=2000$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：不等式的建立与对数解法；物理守恒定律（体积守恒）的数学代数表达。
2. 核心方法：状态转移思维。必须牢牢把握住“长度 $\times$ 厚度 $=$ 常数”这一系统不变量。
3. 避坑指南：解指数不等式 $(1-r_0{)}^n\le \frac{\beta }{\alpha }$ 两边取对数并除以 $\lg (1-r_0)$ 时，极易忽略 $\lg (1-r_0)$ 是负数，从而导致不等号忘记变向。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自工业生产中的实际冷轧钢板厚度控制系统，是早期高考中考查阅读理解与数学抽象能力的经典“应用建模题”。
2. 结论推广：在任何不可压缩材料的塑性延展工艺（如拉丝、轧制）中，若截面某一维度（如宽度）不变，则纵向伸长率必等于厚度压缩率的倒数，即满足关系式 $\frac{L_{out}}{L_{in}}=\frac{h_{in}}{h_{out}}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1987-全国文-19 解-对数不等式的恒成立
• 1990-广东文-31 解-对数函数的定义域与不等式
• 2006-全国卷I理-11 单-不等式在求面积最值中的应用