1989-广东理-24 单-对数的乘积最值

本题导读

本题考查对数的运算与乘积的最值问题。

📌【题干】

Question

（1989年广东卷(理)） 如果 $0<a<1$，$0<x\le y<1$，且 ${\log }_{a}x\cdot {\log }_{a}y=1$，那么 $xy$()

A. 无最大值也无最小值　　　　　　　　　　　　B. 无最大值而有最小值 C. 有最大值而无最小值　　　　　　　　　　　　D. 有最大值也有最小值

🔍【思路分析】

破题导航

由 ${\log }_{a}x{\log }_{a}y=1$ 分析 $xy$ 的取值范围。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$0<a<1$，${\log }_{a}x>0$，${\log }_{a}y>0$。由 ${\log }_{a}x{\log }_{a}y=1$，设 $t={\log }_{a}x$，则 ${\log }_{a}y=\frac{1}{t}$。$xy=a^{{\log }_{a}x+{\log }_{a}y}=a^{t+\frac{1}{t}}$。由 $0<x\le y<1$ 及 $0<a<1$ 知 $t\ge \frac{1}{t}$，即 $t\ge 1$。$t+\frac{1}{t}\ge 2$（$t\ge 1$），当 $t=1$ 时取最小 $2$，此时 $xy=a^2$ 最大。故 $xy$ 有最大值而无最小值，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数的乘积最值

核心方法：由 ${\log }_{a}x{\log }_{a}y=1$ 得 $xy$ 有最大值。

避坑指南：注意 $0<a<1$ 对数符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数乘积最值。

结论推广：${\log }_{a}x{\log }_{a}y=1$ 求 $xy$。

方法推广：对数运算法则。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-01 单-对数方程的求解
• 1990-广东文-31 解-对数函数的定义域与不等式
• 1990-全国文-24 解-含参对数不等式