1986-上海文-31 解-对数不等式的求解

本题导读

本题考查对数不等式的求解，核心在于同底化整与底数小于 $1$ 时的不等号反向。

📌【题干】

Question

（1986年上海卷(文)） 设 $f(x)=\frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{3}}(x+1)$，$g(x)={\log }_{\frac{1}{3}}(1-x)$，试解不等式 $f(x)\ge g(x)$.

🔍【思路分析】

破题导航

先求定义域，再把 $\frac{1}{2}$ 系数化入真数，同底比较（底 $\frac{1}{3}<1$ 反向）。

✅【答案】

Success

$-1<x\le 0$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{3}}(x+1)\ge {\log }_{\frac{1}{3}}(1-x)$ 得定义域 $x+1>0$ 且 $1-x>0$，即 $-1<x<1$。 $\frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{3}}(x+1)={\log }_{\frac{1}{3}}\sqrt{x+1}$，故 ${\log }_{\frac{1}{3}}\sqrt{x+1}\ge {\log }_{\frac{1}{3}}(1-x)$。因底 $\frac{1}{3}<1$，得 $\sqrt{x+1}\le 1-x$，平方得 $x+1\le (1-x{)}^2=1-2x+x^2$，即 $x^2-3x\ge 0$，$x(x-3)\ge 0$，得 $x\le 0$ 或 $x\ge 3$。结合 $-1<x<1$，得 $-1<x\le 0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数不等式的求解

核心方法：$\frac{1}{2}{\log }_{\frac{1}{3}}(x+1)\ge {\log }_{\frac{1}{3}}(1-x)$，同底比较底 $<1$ 反向。

避坑指南：定义域 $x>-1$ 且 $x<1$，得 $-1<x\le 0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数不等式。

结论推广：同底化整比较，底 $<1$ 反向。

方法推广：定义域先行。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1988-上海-25 解-对数不等式求参数范围
• 1990-广东文-31 解-对数函数的定义域与不等式