1986-广东理-36 解-对数方程的求解

本题导读

本题考查对数方程的求解，核心在于定义域的检验与分类讨论。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(理)） 设有对数方程 $\lg (ax)=2\lg (x-1)$.

(1)当 $a=2$ 时，解该对数方程；

(2)讨论当 $a$ 在什么范围内取值时，该对数方程有解，并求出它的解.

🔍【思路分析】

破题导航

$\lg (ax)=\lg (x-1{)}^2$，$ax=(x-1{)}^2$，注意 $ax>0$ 且 $x>1$。

✅【答案】

Success

(1) $x=2+\sqrt{3}$

(2) $a>0$ 时 $x=\frac{2+a+\sqrt{a^2+4a}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$a=2$：$\lg (2x)=2\lg (x-1)$，$2x=(x-1{)}^2$，$x^2-4x+1=0$，$x=2\pm \sqrt{3}$。检验 $x>1$ 且 $2x>0$，取 $x=2+\sqrt{3}$。 (2)$ax>0$ 且 $x>1$ 得 $x>1$ 且 $a>0$。$ax=(x-1{)}^2$，即 $x^2-(2+a)x+1=0$，$x=\frac{2+a\pm \sqrt{a^2+4a}}{2}$。因 $a>0$，$\frac{2+a+\sqrt{a^2+4a}}{2}>1$，$\frac{2+a-\sqrt{a^2+4a}}{2}<1$（舍）。故 $a>0$ 时有解 $x=\frac{2+a+\sqrt{a^2+4a}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数方程的求解

核心方法：$\lg (ax)=2\lg (x-1)$，$ax=(x-1{)}^2$，注意定义域。

避坑指南：$a=2$ 时 $x=2+\sqrt{3}$；$a>0$ 时 $x=\frac{2+a+\sqrt{a^2+4a}}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数方程。

结论推广：定义域检验。

方法推广：分类讨论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1988-上海-25 解-对数不等式求参数范围
• 1990-广东文-31 解-对数函数的定义域与不等式