1985-全国文-13 解-对数方程的求解

本题导读

本题考查对数方程的解法。核心在于定义域先行与验根。

📌【题干】

Question

（1985年全国卷(文)） 解方程：$\lg (3-x)-\lg (3+x)=\lg (1-x)-\lg (2x+1)$.

🔍【思路分析】

破题导航

真数限域 $(-\frac{1}{2},1)$，合并对数后交叉相乘。

✅【答案】

Success

$x=0$

✍【详细解析】

Abstract

由对数的真数必须为正，需同时满足 $3-x>0$，$3+x>0$，$1-x>0$，$2x+1>0$，所以定义域为 $(-\frac{1}{2},1)$。在此范围内，原方程可化为 $\lg \frac{3-x}{3+x}=\lg \frac{1-x}{2x+1}$。由于常用对数函数在正数范围内是单调函数，故 $\frac{3-x}{3+x}=\frac{1-x}{2x+1}$，从而 $(3-x)(2x+1)=(3+x)(1-x)$。展开得 $-2x^2+5x+3=-x^2-2x+3$，即 $x(7-x)=0$。所得根为 $x=0$ 或 $x=7$，其中 $x=7$ 不在定义域内，故原方程的解为 $x=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数方程的求解

核心方法：真数限域 $(-\frac{1}{2},1)$，合并对数后交叉相乘。

避坑指南：$x(7-x)=0$，$x=7$ 舍，解为 $x=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1986 广东理第 36 题同考对数方程。

结论推广：对数方程先写定义域再化真数。

方法推广：所得根必须逐一代回定义域检验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-36 解-对数方程的求解
• 1988-广东理-02 单-对数方程的求解