1986-广东文-36 解-对数方程的求解

本题导读

本题考查对数方程的解法。核心在于对数定义域的检验与唯一性的证明。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(文)） 设有对数方程 $\lg (ax)=2\lg (x-1)$（其中 $a$ 是常数）.

(1)当 $a=2$ 时，解该对数方程；

(2)证明：当 $a>0$ 时，对数方程有且只有一个解.

🔍【思路分析】

破题导航

两边化真数得二次方程，解出后按定义域验根。

✅【答案】

Success

(1) $x=2+\sqrt{3}$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)由对数定义知 $x-1>0$。当 $a=2$ 时，$\lg (2x)=2\lg (x-1)=\lg (x-1{)}^2$，所以 $2x=(x-1{)}^2$，即 $x^2-4x+1=0$。解得 $x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$。经检验，只有 $x=2+\sqrt{3}$ 满足定义域条件。 (2)由对数定义知 $ax>0$ 且 $x-1>0$。由原方程得 $ax=(x-1{)}^2$，即 $x^2-(2+a)x+1=0$。当 $a>0$ 时，$\Delta =(2+a{)}^2-4=a^2+4a>0$，故二次方程有两个相异实根 $x_1=1+\frac{a+\sqrt{a^2+4a}}{2}$，$x_2=1+\frac{a-\sqrt{a^2+4a}}{2}$。其中 $x_1-1=\frac{a+\sqrt{a^2+4a}}{2}>0$，$x_2-1=\frac{a-\sqrt{a^2+4a}}{2}<0$。经检验，$x_1$ 是原方程的解而 $x_2$ 不是。故当 $a>0$ 时，对数方程有且只有一个解。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数方程的求解

核心方法：$a=2$ 时 $x^2-4x+1=0$，验根只留 $2+\sqrt{3}$。

避坑指南：(2) 判别式 $a^2+4a>0$，$x_2-1<0$ 舍去，唯一解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：1986 广东理第 36 题同源（理问 $a$ 范围，文证唯一解）。

结论推广：对数方程两边化真数后必须验根。

方法推广：证明唯一性 = 有解 + 其余候选被定义域舍去。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-36 解-对数方程的求解
• 1989-全国文-23 解-对数方程有解的条件