1988-全国文-24 解-对数不等式

本题导读

本题考查对数不等式的求解。核心在于化对数不等式为分式不等式并分类讨论。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(文)） 解不等式：$\lg \left(x-\frac{1}{x}\right)<0$.

🔍【思路分析】

破题导航

$\lg (x-\frac{1}{x})<0$ 即 $0<x-\frac{1}{x}<1$，分 $x>0$ 与 $x<0$ 讨论。

✅【答案】

Success

$\left(-1,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(1,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

$\lg (x-\frac{1}{x})<0$ 即 $0<x-\frac{1}{x}<1$。 由 $x-\frac{1}{x}>0$ 得 $\frac{x^2-1}{x}>0$，即 $\frac{(x-1)(x+1)}{x}>0$，解得 $x\in (-1,0)\cup (1,+\infty )$。 再解 $x-\frac{1}{x}<1$，即 $\frac{x^2-x-1}{x}<0$。 当 $-1<x<0$ 时，$x<0$，须 $x^2-x-1>0$，即 $x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ 或 $x>\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，与 $-1<x<0$ 交集为 $-1<x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。 当 $x>1$ 时，$x>0$，须 $x^2-x-1<0$，即 $\frac{1-\sqrt{5}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，与 $x>1$ 交集为 $1<x<\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。 故解集为 $\left(-1,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(1,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数不等式

核心方法：$\lg \frac{x-1}{x}<0$ 即 $0<\frac{x-1}{x}<1$。

避坑指南：分 $x>0$ 与 $x<0$ 讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数不等式。

结论推广：定义域。

方法推广：分类讨论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1990-全国文-24 解-含参对数不等式
• 1990-广东理-34 解-含参对数不等式
• 1990-广东文-31 解-对数函数的定义域与不等式