1987-全国卷理-18 解-含参对数不等式恒成立

本题导读

本题考查对数函数的性质与定义域、一元二次不等式恒成立条件，用到换元法、判别式法。

📌【题干】

Question

（1987年全国卷(理)） 设对所有实数 $x$，不等式 $x^2{\log }_2\frac{4(a+1)}{a}+2x{\log }_2\frac{2a}{a+1}+{\log }_2\frac{(a+1{)}^2}{4a^2}>0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先确定所有对数的真数大于 0，得 $a$ 的初步范围。
2. 三个真数 $\frac{4(a+1)}{a}$、$\frac{2a}{a+1}$、$\frac{(a+1{)}^2}{4a^2}$ 彼此相关，令 $A={\log }_2\frac{a+1}{a}$，把三个系数对数都表示成 $A$ 的线性式，实现换元。
3. 原式化为关于 $x$ 的二次不等式 $M{x}^2+Nx+K>0$。对任意实数 $x$ 恒成立，需开口向上且与 $x$ 轴无交点：$M>0$ 且 $\Delta <0$。
4. 解出 $A$ 的范围，再由对数还原出 $a$ 的范围。

✅【答案】

Success

$0<a<1$

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：确定定义域 所有真数须大于 0： $\{\begin{array}{l}\frac{4(a+1)}{a}>0\\ \frac{2a}{a+1}>0\\ \frac{(a+1{)}^2}{4a^2}>0\end{array}⟹\frac{a+1}{a}>0⟹a>0\text{或}a<-1\text{(1)}$

• 第二步：恒等变形与换元 令 $u=\frac{a+1}{a}$，由 ① 知 $u>0$。 把三个系数对数分别化简：

  1. 二次项系数： ${\log }_2\frac{4(a+1)}{a}={\log }_2(4u)={\log }_{2}4+{\log }_{2}u=2+{\log }_{2}u\text{(2)}$
  2. 一次项系数的一半： ${\log }_2\frac{2a}{a+1}={\log }_2\left(2\cdot \frac{a}{a+1}\right)={\log }_2\left(\frac{2}{u}\right)={\log }_{2}2-{\log }_{2}u=1-{\log }_{2}u\text{(3)}$
  3. 常数项： ${\log }_2\frac{(a+1{)}^2}{4a^2}={\log }_2\left[\frac{1}{4}{\left(\frac{a+1}{a}\right)}^2\right]={\log }_2\left(\frac{1}{4}{u}^2\right)={\log }_2{2}^{-2}+{\log }_2{u}^2=-2+2{\log }_{2}u\text{(4)}$

  令 $A={\log }_{2}u={\log }_2\frac{a+1}{a}\text{⑤}$ 把式 ②、③、④ 用 $A$ 表示，代回原不等式，得： $(2+A)x^2+2(1-A)x+(2A-2)>0\text{⑥}$

• 第三步：由恒成立条件列不等式组 不等式 ⑥ 对任意实数 $x$ 恒成立，需开口向上且判别式小于 0： $\{\begin{array}{l}2+A>0\text{⑦}\\ \frac{\Delta }{4}=(1-A{)}^2-(2+A)(2A-2)<0\text{⑧}\end{array}$

  1. 由 ⑦： $A>-2$。
  2. 化简 ⑧： $(1-2A+A^2)-(4A-4+2A^2-2A)<0$ $(A^2-2A+1)-(2A^2+2A-4)<0$ $-A^2-4A+5<0⟹A^2+4A-5>0\text{⑨}$ 因式分解： $(A+5)(A-1)>0⟹A>1\text{或}A<-5\text{⑩}$

  与 $A>-2$ 取交集： $A>1\text{⑪}$

• 第四步：还原参数 $a$ 把式 ⑤ 代入 ⑪： ${\log }_2\frac{a+1}{a}>1\text{⑫}$ 底数 $2>1$，去对数不等号方向不变（$1={\log }_{2}2$）： $\frac{a+1}{a}>2\text{⑬}$

  移项通分： $\frac{a+1}{a}-2>0⟹\frac{a+1-2a}{a}>0⟹\frac{1-a}{a}>0\text{⑭}$ 即 $a(1-a)>0⟹a(a-1)<0$： $0<a<1\text{⑮}$

  与定义域 ①（$a>0$ 或 $a<-1$）取交集，$(0,1)\subset (0,+\infty )$，符合。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数的性质与真数定义域、一元二次不等式恒成立的充要条件、换元化简。
2. 核心方法：换元法、判别式法。
3. 避坑指南：
   • 不要漏掉二次项系数大于 0 的条件：只记判别式 $\Delta <0$，漏掉 $2+A>0$，会把 $A<-5$ 这一支也放进来，产生多解。
   • 拆分化简时，已证 $u=\frac{a+1}{a}>0$，可以放心拆分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1987 年全国高考理科卷第 18 题，考查含参对数不等式恒成立问题。
2. 结论推广：这类题先把各系数对数拆成 ${\log }_{2}u$（$u$ 为含参式子）的线性式，换元后化为关于 $x$ 的二次不等式，再由开口方向与判别式解出中间变量，最后还原参数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

1988-全国文-24 解-对数不等式 1990-全国文-24 解-含参对数不等式 1989-全国文-17 填-指数与对数不等式