2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值

本题导读

$f(x)=\sin x+\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$。(1) $T=2\pi$；(2) 最大值 $\sqrt{2}$、最小值 $-\sqrt{2}$；(3) 由 $f(\alpha )=\frac{3}{4}$ 得 $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{3}{4}$，平方得 $\sin 2\alpha =-\frac{7}{16}$。

📌【题干】

Question

（2006年广东卷） 已知函数 $f(x)=\sin x+\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$，$x\in \mathbf{R}$。

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 求 $f(x)$ 的最大值和最小值；

(3) 若 $f(\alpha )=\frac{3}{4}$，求 $\sin 2\alpha$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x$，故 $f(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$。
2. (1) 最小正周期 $T=\frac{2\pi }{1}=2\pi$。
3. (2) 由 $-1⩽\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)⩽1$，得 $-\sqrt{2}⩽f(x)⩽\sqrt{2}$。
4. (3) $f(\alpha )=\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{3}{4}$，平方得 $1+\sin 2\alpha =\frac{9}{16}$，$\sin 2\alpha =-\frac{7}{16}$。

✅【答案】

Success

(1) $2\pi$

(2) 最大值 $\sqrt{2}$，最小值 $-\sqrt{2}$

(3) $-\frac{7}{16}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为 $f(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$，所以最小正周期为 $T=2\pi$． （2）由 $-1⩽\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)⩽1$，得 $-\sqrt{2}⩽f(x)⩽\sqrt{2}$，故最大值为 $\sqrt{2}$、最小值为 $-\sqrt{2}$． （3）由 $f(\alpha )=\frac{3}{4}$，得 $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{3}{4}$，两边平方： $1+2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{9}{16},$ 即 $1+\sin 2\alpha =\frac{9}{16}$，故 $\sin 2\alpha =-\frac{7}{16}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：辅助角三角最值

核心方法：$f(x)=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$，$T=2\pi$，值域 $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$；$\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{3}{4}$ 平方得 $\sin 2\alpha =-\frac{7}{16}$

避坑指南：$\sin (x+\frac{\pi }{2})=\cos x$；$\sin \alpha +\cos \alpha$ 平方用 $1+\sin 2\alpha$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 辅助角公式与三角最值，给值求值

结论推广: $f(x)=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi }{4})$；$\sin 2\alpha ={\left(\frac{3}{4}\right)}^2-1=-\frac{7}{16}$

方法推广: $\sin \alpha +\cos \alpha$ 平方用 $1+\sin 2\alpha$ 直接得二倍角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2008-湖北文-16 解-三角化一区间最值
• 2010-湖南卷文-16 解-三角恒等变换最值
• 2011-北京卷文-15 解-三角恒等变换最值