2004-辽宁卷-01 单-三角函数在各象限的符号特征

本题导读

本题考查二倍角公式，以及简单不等式组的求解。

📌【题干】

Question

（2004年辽宁卷） 若 $\cos \theta >0$， $\sin 2\theta <0$，则角 $\theta$ 的终边所在象限是 ()

A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：已知 $\cos \theta >0$，由此可以限定角 $\theta$ 只能分布在平面直角坐标系的第一象限或第四象限（或者是 $x$ 轴正半轴）。
2. 第二步逻辑：由已知条件 $\sin 2\theta <0$，套用正弦二倍角公式将其展开为 $2\sin \theta \cos \theta <0$。将第一步中 $\cos \theta >0$ 的代数性质代入，从而确定 $\sin \theta$ 必须严格小于 0。
3. 第三步逻辑：联立两个单角三角函数的符号条件（$\cos \theta >0$ 且 $\sin \theta <0$），直接锁定角 $\theta$ 的终边所在象限。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

由已知条件，二倍角正弦式满足不等式： $\sin 2\theta <0\text{（式1）}$ 根据正弦二倍角公式，将（式1）展开为单角形式： $2\sin \theta \cos \theta <0\text{（式2）}$ 不等式（式2）两边同时除以正数 2，可得： $\sin \theta \cos \theta <0\text{（式3）}$

因为题目中已知另一个刚性条件为： $\cos \theta >0\text{（式4）}$ 根据实数乘法法则（“异号得负”），由于（式4）中 $\cos \theta$ 为正数，要使得（式3）的乘积项严格小于 0，必须且只需满足： $\sin \theta <0\text{（式5）}$

联立（式4）与（式5），得到关于单角 $\theta$ 符号特征的完整代数不等式组： $\{\begin{array}{l}\cos \theta >0\\ \sin \theta <0\end{array}\text{（式6）}$ 根据任意角三角函数在直角坐标系各象限的符号分布规律：

• 横坐标（余弦）大于 0 意味着终边在 $y$ 轴右侧（第一、四象限）；
• 纵坐标（正弦）小于 0 意味着终边在 $x$ 轴下方（第三、四象限）。 取其交集可知，同时满足（式6）的角 $\theta$ 终边只能严格位于第四象限。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦二倍角公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$ 的基础变形；各象限内正弦、余弦代数符号的判定。
2. 核心方法：不等式化简法、象限交集法。
3. 避坑指南：
   • 切忌在看到 $\sin 2\theta <0$ 时，盲目把 $2\theta$ 当作整体去求范围再除以 2：虽然通过 $2k\pi +\pi <2\theta <2k\pi +2\pi ⟹k\pi +\frac{\pi }{2}<\theta <k\pi +\pi$ 也能分类讨论算出解，但这样容易引入复杂的周期和弧度分式，极大增加了运算量与翻车的概率。请牢记三角符号判定铁律：凡是看到已知条件中同时出现‘单角’与‘二倍角’的符号不等式（如本题的 $\cos \theta$ 与 $\sin 2\theta$），第一核心动作无条件是利用二倍角公式将高阶角全部‘降维裂解’为单角连乘积（$2\sin \theta \cos \theta$）。通过直接代入已知项进行乘除法消元，可以将问题直接降维为初中代数正负号的判定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材任意角三角函数及恒等变换章节的课后标准复习题，是高考考查三角函数在基础坐标系中几何特征最典型的低档得分题。
2. 结论推广: 由 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$，若已知 $\cos \theta$ 的符号，结合 $\theta$ 所在象限确定 $\sin \theta$ 的符号，即可判断 $\sin 2\theta$ 的符号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1977-福建卷-02 解-分式不等式的解法
• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值