2004-江苏卷-17 解-同角三角函数基本关系

本题导读

本题考查同角三角函数基本关系。核心在于弦切互化消元法、目标公式展开代入法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年江苏卷） 已知 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$， $\tan \frac{\alpha }{2}+\cot \frac{\alpha }{2}=\frac{5}{2}$，求 $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（化简已知条件）：已知条件含有 $\tan \frac{\alpha }{2}$ 与 $\cot \frac{\alpha }{2}$。应用同角三角函数基本关系（弦切互化），将其统一改写为正弦与余弦的比值形式。通分后利用二倍角公式，将其完整化简为关于全角 $\sin \alpha$ 的简单分式方程，求出 $\sin \alpha$。
2. 第二步逻辑（求解 $\cos \alpha$ 的值）：利用同角三角函数平方和恒等式 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 计算 $\cos \alpha$ 的可能取值。结合已知边界条件 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$（第一象限，正弦余弦严格恒正），排除不合法的代数根。
3. 第三步逻辑（展开目标公式求值）：对目标求值式 $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)$ 应用两角差的正弦公式进行线性展开，代入已求得的 $\sin \alpha$ 与 $\cos \alpha$ 以及特殊角的三角函数值，输出最终结果。

✅【答案】

Success

$\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

1. 化简已知条件求解 $\sin \alpha$ 已知代数方程为： $\tan \frac{\alpha }{2}+\cot \frac{\alpha }{2}=\frac{5}{2}\text{（式1）}$ 根据弦切互化公式，将（式1）的左侧统一拆解为正弦与余弦的结构： $\frac{\sin \frac{\alpha }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}+\frac{\cos \frac{\alpha }{2}}{\sin \frac{\alpha }{2}}=\frac{5}{2}$ 对等式左边进行通分合并： $\frac{{\sin }^2\frac{\alpha }{2}+{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}{\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}}=\frac{5}{2}\text{（式2）}$ 根据同角三角函数平方和恒等式，分子 ${\sin }^2\frac{\alpha }{2}+{\cos }^2\frac{\alpha }{2}=1$。 根据正弦二倍角公式，分母可变形为 $\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{1}{2}\sin \alpha$。 将上述恒等性质代回（式2）中： $\frac{1}{\frac{1}{2}\sin \alpha }=\frac{5}{2}⟹\frac{2}{\sin \alpha }=\frac{5}{2}\text{（式3）}$ 利用交叉相乘去分母解（式3）的方程： $5\sin \alpha =4⟹\sin \alpha =\frac{4}{5}\text{（式4）}$

2. 求解对应余弦值 $\cos \alpha$ 根据同角三角函数关系，有： ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha \text{（式5）}$ 将（式4）代入（式5）中计算： ${\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$ 对两边取平方根： $\cos \alpha =\pm \frac{3}{5}\text{（式6）}$ 因为题目限定自变量区间严格属于第一象限： $0<\alpha <\frac{\pi }{2}⟹\cos \alpha >0\text{（式7）}$ 结合边界约束（式7），对（式6）的多解图形进行截断，唯一保留正根： $\cos \alpha =\frac{3}{5}\text{（式8）}$

3. 展开目标公式求值 目标求值式为 $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)$。应用两角差的正弦展开公式： $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\cos \alpha \sin \frac{\pi }{3}\text{（式9）}$ 已知标准特殊弧度的三角函数精确值为： $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2},\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{（式10）}$ 将（式4） $\sin \alpha =\frac{4}{5}$、 （式8） $\cos \alpha =\frac{3}{5}$ 连同特殊值（式10）一并代入展开式（式9）中进行算术计算： $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)=\frac{4}{5}\times \frac{1}{2}-\frac{3}{5}\times \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{3}\right)=\frac{4}{10}-\frac{3\sqrt{3}}{10}=\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：弦切互化基本功（$\tan \theta +\cot \theta =\frac{2}{\sin 2\theta }$ 恒等性质的推导）；第一象限内三角函数符号判定；两角差正弦公式的准确展开。
2. 核心方法：恒等变换化归法。
3. 避坑指南：
   • 在计算 $\cos \alpha$ 时，严禁漏掉开平方产生的正负号讨论步骤：虽然本题由于 $\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 最终取正值，但必须在答题步骤中显式写出“因为 $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$，所以 $\cos \alpha >0$”，否则在高考大题的踩点给分标准中，会因逻辑不严密被扣除 1 到 2 分。
   • 注意差角公式中各项符号的对应， $\sin (A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B$，中间符号为负。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出处为高中数学教材三角函数恒等变换章节的核心解答例题，属于高考对三角基本功及两角和差公式应用考查的标准送分大题。
2. 结论推广: 由 $\tan \frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{\sin \theta }$、$\cot \frac{\theta }{2}=\frac{1+\cos \theta }{\sin \theta }$，可得 $\tan \frac{\theta }{2}+\cot \frac{\theta }{2}=\frac{2}{\sin \theta }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值
• 1977-江西-07 填-二倍角求角