2005-重庆卷文-17 解-三角恒等变换求参数

本题导读

本题考查三角恒等变换化简函数并求参数的值。

📌【题干】

Question

（2005年重庆卷(文)） 若函数 $f(x)=\frac{1+\cos 2x}{2\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)}+\sin x+a^2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 的最大值为 $\sqrt{2}+3$，试确定常数 $a$ 的值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$，$\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$，约分得 $\cos x$。
2. $f(x)=\cos x+\sin x+a^2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=(\sqrt{2}+a^2)\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$。
3. 最大值 $\sqrt{2}+a^2=\sqrt{2}+3$，解 $a=\pm \sqrt{3}$。

✅【答案】

Success

$a=\pm \surd 3.$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$，$\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$，当 $\cos x\ne 0$ 时 $\frac{1+\cos 2x}{2\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)}=\frac{2{\cos }^{2}x}{2\cos x}=\cos x$．所以 $f(x)=\cos x+\sin x+a^2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+a^2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=(\sqrt{2}+a^2)\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$．其最大值为 $\sqrt{2}+a^2$（取 $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$ 时，此时 $\cos x\ne 0$，约分合法）．由题意 $\sqrt{2}+a^2=\sqrt{2}+3$，得 $a^2=3$，故 $a=\pm \sqrt{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换求参数

核心方法：化简 $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x+\sqrt{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 合并后最大值 $\sqrt{2}+3$

避坑指南：$\frac{1+\cos 2x}{2\sin (\frac{\pi }{2}-x)}=\frac{{\cos }^{2}x}{\cos x}=\cos x$（约分须 $\cos x\ne 0$，取最大时成立）；合并同角后 $a^2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 展开凑峰值——短答案 $a=\pm \sqrt{3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 三角恒等变换

结论推广：约分得 $\cos x$，合并得峰值 $\sqrt{2}+3$，解出 $a=\pm \sqrt{3}$

方法推广：分式含 $\sin (\frac{\pi }{2}-x)=\cos x$ 先约分；$a^2\sin (x+\frac{\pi }{4})$ 用和角公式展开，把 $a^2$ 视为整体参数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2005-天津卷文-17 解-三角恒等变换求值
• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值