2005-天津卷文-17 解-三角恒等变换求值

本题导读

本题考查三角恒等变换给值求值，核心在于将已知条件展开、因式分解后联立解出 $\sin \alpha ,\cos \alpha$。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(文)） 已知 $\sin (\alpha -\frac{\pi }{4})=\frac{7\sqrt{2}}{10}$，$\cos 2\alpha =\frac{7}{25}$，求 $\sin \alpha$ 及 $\tan (\alpha +\frac{\pi }{3})$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开条件一：$\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha -\cos \alpha )=\frac{7\sqrt{2}}{10}$，得 $\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{7}{5}$。
2. 展开条件二：${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =-(\sin \alpha +\cos \alpha )(\sin \alpha -\cos \alpha )=\frac{7}{25}$，得 $\sin \alpha +\cos \alpha =-\frac{1}{5}$。
3. 两式相加、相减：$\sin \alpha =\frac{3}{5}$，$\cos \alpha =-\frac{4}{5}$。
4. $\tan \alpha =-\frac{3}{4}$，代入和角正切公式：$\tan (\alpha +\frac{\pi }{3})=\frac{-\frac{3}{4}+\sqrt{3}}{1+\frac{3\sqrt{3}}{4}}=\frac{48-25\sqrt{3}}{11}$。

✅【答案】

Success

$\sin \alpha =\frac{3}{5}$，$\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{48-25\sqrt{3}}{11}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin (\alpha -\frac{\pi }{4})=\frac{\sin \alpha -\cos \alpha }{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$，得 $\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{7}{5}$．① 又 $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =(\cos \alpha -\sin \alpha )(\cos \alpha +\sin \alpha )=\frac{7}{25}$，所以 $-\frac{7}{5}(\sin \alpha +\cos \alpha )=\frac{7}{25}$，得 $\sin \alpha +\cos \alpha =-\frac{1}{5}$．② ①②相加、相减，得到 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$，$\cos \alpha =-\frac{4}{5}$．因此 $\tan \alpha =-\frac{3}{4}$， $\tan (\alpha +\frac{\pi }{3})=\frac{\tan \alpha +\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}\tan \alpha }=\frac{-\frac{3}{4}+\sqrt{3}}{1+\frac{3\sqrt{3}}{4}}=\frac{4\sqrt{3}-3}{4+3\sqrt{3}}=\frac{48-25\sqrt{3}}{11}$． 故 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$，$\tan (\alpha +\frac{\pi }{3})=\frac{48-25\sqrt{3}}{11}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换求值

核心方法：和差角公式与二倍角联用

避坑指南：由 $\sin (\alpha -\frac{\pi }{4})$ 展开得 $\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{7}{5}$，由 $\cos 2\alpha$ 得 $\sin \alpha +\cos \alpha =-\frac{1}{5}$，解出 $\sin \alpha =\frac{3}{5}$、$\cos \alpha =-\frac{4}{5}$，再代入和角正切公式；开方后正负取舍由 $2\alpha$ 的范围校验

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：给值求值型三角综合

结论推广：两个条件式（和差角、二倍角）联立解出 $\sin \alpha ,\cos \alpha$，再代目标公式

方法推广：条件式相加减把 $\sin \alpha \pm \cos \alpha$ 当整体解；象限符号用 ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ 校验

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷I理-17 解-二次函数在闭区间上的最值
• 2019-新课标I理-17 解-解三角形