2006-全国卷I理-17 解-二次函数在闭区间上的最值

本题导读

本题考查解三角形与三角函数最值求解的综合应用。核心在于利用三角形内角和定理消去多余角，转化为单一角的一元二次函数求区间最值。

📌【题干】

Question

（2006年全国卷I(理)） $△ABC$ 的三个内角为 $A,B,C$，求当 $A$ 为何值时， $\cos A+2\cos \frac{B+C}{2}$ 取得最大值，并求出这个最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

利用 $△ABC$ 的内角和定理 $A+B+C=\pi$，将含有 $B+C$ 的项变形为 $B+C=\pi -A$。 代入目标式中的复合角部分： $\frac{B+C}{2}=\frac{\pi -A}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{A}{2}$。 应用诱导公式 $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{A}{2}\right)=\sin \frac{A}{2}$ 将后项化为正弦。 应用二倍角余弦公式 $\cos A=1-2{\sin }^2\frac{A}{2}$ 将前项也统一为关于 $\sin \frac{A}{2}$ 的代数式。 设 $t=\sin \frac{A}{2}$，结合内角范围确定 $t$ 的闭区间。利用二次函数配方法求出最大值及对应的 $A$ 值。

✅【答案】

Success

因为A+B+C=π，所以cosA+2cosB+C2=cosA+2cos(π−A

✍【详细解析】

Abstract

解：在 $△ABC$ 中，因为 $A+B+C=\pi$，所以： $B+C=\pi -A$ 两边同时除以 2 得： $\frac{B+C}{2}=\frac{\pi -A}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{A}{2}$

根据诱导公式 $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha$，可以将目标代数式后项化简为： $2\cos \frac{B+C}{2}=2\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{A}{2}\right)=2\sin \frac{A}{2}$

为了将整个目标式统一为关于角 $\frac{A}{2}$ 的单一三角函数，对前项 $\cos A$ 应用二倍角余弦的降幂公式 $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$： $\cos A=1-2{\sin }^2\frac{A}{2}$

把两部分代回原目标式，设其为函数 $y$： $y=\cos A+2\cos \frac{B+C}{2}=\left(1-2{\sin }^2\frac{A}{2}\right)+2\sin \frac{A}{2}$ 调整项的顺序，写成标准一元二次多项式形式： $y=-2{\sin }^2\frac{A}{2}+2\sin \frac{A}{2}+1$

设 $t=\sin \frac{A}{2}$。因为 $A$ 是 $△ABC$ 的内角，所以 $0<A<\pi$，从而 $0<\frac{A}{2}<\frac{\pi }{2}$。 在此锐角区间内，正弦值的取值范围约束为： $t=\sin \frac{A}{2}\in (0,1)$

原式转化为关于 $t$ 的一元二次函数，对其进行完全平方配方： $y=-2t^2+2t+1=-2\left(t^2-t\right)+1=-2{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+2\times \frac{1}{4}+1$ $y=-2{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{2}$

因为二次项系数为 $-2<0$，图象开口向下。 且对称轴为 $t=\frac{1}{2}$，显然 $\frac{1}{2}\in (0,1)$ 在变元合法区间内部。 所以，当 $t=\frac{1}{2}$ 时，函数 $y$ 取得最大值，最大值为 $\frac{3}{2}$。

由 $t=\frac{1}{2}⟹\sin \frac{A}{2}=\frac{1}{2}$，因为 $\frac{A}{2}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，解得： $\frac{A}{2}=\frac{\pi }{6}⟹A=\frac{\pi }{3}(\text{即 }60^{\circ })$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三角形内角和定理变换、二倍角公式的倍角降幂、二次函数在开区间内的顶点最值。
• 核心方法：变元换元配方法。
• 避坑指南：
• 变形时务必注意 $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{A}{2}\right)=\sin \frac{A}{2}$，名称由余弦变为了正弦，前项配对时必须选择含正弦的二倍角公式 $\cos A=1-2{\sin }^2\frac{A}{2}$。
• 求出 $t=\frac{1}{2}$ 后，注意这是 $\sin \frac{A}{2}$ 的值，最终解 $A$ 时不要误写成 $\frac{\pi }{6}$，要乘以 2 还原为 $A=\frac{\pi }{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是高考第一道解答题（常规为三角函数或数列）的经典标准模板题，主要考查对边角变换的一致性控制以及向代数二次最值平滑转化的能力。 结论推广: 在 $△ABC$ 中，形如 $\cos A+\lambda \sin \frac{A}{2}$ 构型的最值，通过配方后其最大值恒在 $\sin \frac{A}{2}=\frac{\lambda }{4}$ 处取得（前提是满足 $\frac{\lambda }{4}<1$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2007-天津卷理-17 解-三角函数在闭区间上最值
• 2008-湖北文-16 解-三角化一区间最值
• 2010-湖北卷文-16 解-三角恒等变换与最值