2004-湖南文-17 解-三角恒等求值

本题导读

本题考查同角三角函数关系与和角公式。核心在于用和角公式求 $\tan \alpha$，再将齐次式化为 $\tan \alpha$ 求值。

📌【题干】

Question

（2004年湖南卷(文)） 已知 $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=2$，求 $\frac{1}{2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha }$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\tan (\frac{\pi }{4}+\alpha )=\frac{1+\tan \alpha }{1-\tan \alpha }=2$，得 $\tan \alpha =\frac{1}{3}$。
2. 分子分母同除 ${\cos }^2\alpha$：$\frac{1}{2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha }=\frac{{\tan }^2\alpha +1}{2\tan \alpha +1}$。
3. 代入得 $\frac{\frac{1}{9}+1}{\frac{2}{3}+1}=\frac{2}{3}$。

✅【答案】

Success

$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由正切的和角公式 $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\alpha \right)=\frac{1+\tan \alpha }{1-\tan \alpha }=2$，得 $1+\tan \alpha =2-2\tan \alpha$，即 $3\tan \alpha =1$，$\tan \alpha =\frac{1}{3}$.于是 $\frac{1}{2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha }=\frac{{\tan }^2\alpha +1}{2\tan \alpha +1}=\frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+1}{2\times \frac{1}{3}+1}=\frac{\frac{10}{9}}{\frac{5}{3}}=\frac{2}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等求值
2. 核心方法：$\tan (\frac{\pi }{4}+\alpha )=\frac{1+\tan \alpha }{1-\tan \alpha }=2$，得 $\tan \alpha =\frac{1}{3}$；$\frac{1}{2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha }=\frac{{\tan }^2\alpha +1}{2\tan \alpha +1}=\frac{\frac{1}{9}+1}{\frac{2}{3}+1}=\frac{2}{3}$
3. 避坑指南：分子分母同除 ${\cos }^2\alpha$ 化 $\tan$；$2\tan \alpha +1=\frac{5}{3}$，${\tan }^2\alpha +1=\frac{10}{9}$，比值 $\frac{2}{3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于三角恒等与和角公式，教材”三角恒等变换”
2. 结论推广: 一般化：$\tan (\frac{\pi }{4}+\alpha )$ 用和角公式；齐次式同除 ${\cos }^2\alpha$；和角公式求 $\tan \alpha$，齐次化求值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2004-湖北文-17 解-三角恒等求值
• 2005-天津卷文-17 解-三角恒等变换求值
• 2006-天津文-17 解-三角恒等变换求值