2006-天津文-17 解-三角恒等变换求值

本题导读

本题考查同角三角函数关系与二倍角、两角和公式。核心在于同角关系与和角公式求值。

📌【题干】

Question

（2006年天津卷(文)） 已知 $\tan \alpha +\cot \alpha =\frac{5}{2}$，$\alpha \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$，求 $\cos 2\alpha$ 和 $\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ 的值。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $t=\tan \alpha >1$，则 $t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$，解得 $t=2$。
2. $\cos 2\alpha =\frac{1-t^2}{1+t^2}=-\frac{3}{5}$，$\sin 2\alpha =\frac{2t}{1+t^2}=\frac{4}{5}$。
3. $\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin 2\alpha +\cos 2\alpha )=\frac{\sqrt{2}}{10}$。

✅【答案】

Success

$\cos 2\alpha =-\frac{3}{5}$，$\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $t=\tan \alpha$。因 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$，故 $t>1$，且 $\cot \alpha =\frac{1}{t}$。 由 $t+\frac{1}{t}=\frac{5}{2}$ 得 $2t^2-5t+2=0$，即 $(2t-1)(t-2)=0$，结合 $t>1$ 取 $t=2$。 于是 $\cos 2\alpha =\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{1-4}{1+4}=-\frac{3}{5}$， $\sin 2\alpha =\frac{2t}{1+t^2}=\frac{4}{5}$。 $\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\sin 2\alpha \cos \frac{\pi }{4}+\cos 2\alpha \sin \frac{\pi }{4}=\frac{4}{5}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换求值

核心方法：设 $t=\tan \alpha$ 解二次方程，万能公式求 $\cos 2\alpha$

避坑指南：由 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}\right)$ 知 $t>1$，从两根 $\frac{1}{2},2$ 中取 $2$；$\cos 2\alpha =\frac{1-t^2}{1+t^2}=-\frac{3}{5}$ 符号别丢

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 三角恒等变换求值是解答题第一题的标准配置。

结论推广: 万能公式 $$\begin{gathered} cos2 \\ alpha= \\ dfrac1-t^{2}1+t^2 \end{gathered}$$、$$\begin{gathered} sin2 \\ alpha= \\ dfrac2t1+t^2 \end{gathered}$$（$$\begin{gathered} t= \\ tan \\ alpha \end{gathered}$$）。

方法推广: 设 $$\begin{gathered} t= \\ tan \\ alpha \end{gathered}$$ 一次求出 $t$，万能公式直接得 $$\begin{gathered} cos2 \\ alpha \end{gathered}$$、$$\begin{gathered} sin2 \\ alpha \end{gathered}$$，再套两角和公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2009-天津文-17 解-正余弦定理二倍角
• 2010-北京文-15 解-二倍角化简与最值
• 2011-天津卷文-16 解-正余弦定理与二倍角