2001-上海卷理-03 填-同角三角函数关系

本题导读

本题考查同角三角函数关系，以及二倍角公式与半角公式。

📌【题干】

Question

（2001年上海卷(理)） 函数 $y=\frac{\sin x}{1-\cos x}$ 的最小正周期为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用倍角公式进行分子分母化简：

• 分子 $\sin x$ 展开为二倍角形式： $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$；
• 分母 $1-\cos x$ 利用余弦二倍角公式（或升幂公式）化简： $1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}$。

2. 消元转化为基本三角函数：将上述展开式代入原分式中，消去公因式，将其转化为余切函数 $\cot \frac{x}{2}$（或正切函数的变形形式）。
3. 求解最小正周期：根据正切/余切函数的周期公式 $T=\frac{\pi }{|\omega |}$ 算出结果。

✅【答案】

Success

$2\pi$

✍【详细解析】

Abstract

三角恒等变换化简解析式 已知函数方程为： $y=\frac{\sin x}{1-\cos x}$ 应用正弦和余弦的二倍角公式： $\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}$ $\cos x=1-2{\sin }^2\frac{x}{2}⟹1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}$

将上述两式代入原函数中： $y=\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2{\sin }^2\frac{x}{2}}$ 在满足分母不为 0（即 $\sin \frac{x}{2}\ne 0⟹x\ne 2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$）的定义域内，分子分母同时约去 $2\sin \frac{x}{2}$： $y=\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}}=\cot \frac{x}{2}$

计算最小正周期 化简后的函数为余切函数 $y=\cot \frac{x}{2}$。 基本正切函数 $y=\tan x$ 和余切函数 $y=\cot x$ 的最小正周期均为 $\pi$。 对于复合三角函数 $y=\cot (\omega x+\varphi )$，其最小正周期计算公式为： $T=\frac{\pi }{|\omega |}$ 在本题中， $\omega =\frac{1}{2}$，代入公式： $T=\frac{\pi }{\frac{1}{2}}=2\pi$

$2\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：万能公式/半角公式的逆向变形模型 $\frac{\sin x}{1-\cos x}=\cot \frac{x}{2}$；正切、余切型函数的周期公式。
2. 核心方法：倍角降幂化简法。
3. 避坑指南：

• 盲目直觉陷阱：部分学生一看到分子是 $\sin x$ （周期为 $2\pi$），分母是 $1-\cos x$ （周期为 $2\pi$），就盲目认为分式的总周期一定是 $2\pi$。虽然本题由于消元后恰好结果仍为 $2\pi$，但在处理类似 $\frac{\sin 2x}{1-\cos 2x}$ 等分式时极易因不化简而导致系数错位。处理复合三角函数的周期问题，必须先化简为单名数（单一正弦、余弦或正切）形式再求周期。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于三角函数图象与性质板块的基础填空题，取材于高中数学教材“三角恒等变换”章节关于半角公式变形与正切性质应用的课后基础巩固题。
2. 结论推广： 本题所涉及的变换属于微积分中著名的**“万能代换（Weierstrass Substitution）”**初等逆向变体。 在解析几何与微积分求积分时，常令 $t=\tan \frac{x}{2}$，则有： $\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}⟹\frac{\sin x}{1-\cos x}=\frac{\frac{2t}{1+t^2}}{1-\frac{1-t^2}{1+t^2}}=\frac{2t}{2t^2}=\frac{1}{t}=\cot \frac{x}{2}$ 这一代数恒等式在复变函数共形映射、数字信号处理中的双线性变换（Bilinear Transform，用于将模拟滤波器转化为数字不变量滤波器）中，是实现频域跨度周期性无缝延展的底层代数方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 1977-江西-07 填-二倍角求角
• 1977-河南-06 解-切弦互化证恒等式