2003-全国卷理-04 单-三角恒等变换

本题导读

本题主要考查三角函数的恒等变换及最值的求解。通过展开多项式，利用正弦和余弦的二倍角降幂公式将二次式转化为一次式，再利用辅助角公式将其化为单一的正弦型函数 $A\sin (\omega x+\phi )+B$ 的形式，从而直接确定其最大值。

📌【题干】

Question

（2003年全国卷(理)） 函数 $y=2\sin x(\sin x+\cos x)$ 的最大值为()

A. $1+\sqrt{2}$　　　　　　B. $\sqrt{2}-1$　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开解析式：将括号展开，得到 $y=2{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x$。

2. 公式降幂与倍角转化：

   • 利用二倍角降幂公式 $2{\sin }^{2}x=1-\cos 2x$ 将二次项降幂。
   • 利用二倍角正弦公式 $2\sin x\cos x=\sin 2x$ 转化乘积项。

3. 辅助角公式合成：将化简后的式子整理为 $\sin 2x-\cos 2x+1$ 的形式，利用辅助角公式合并为一个正弦函数。

4. 求取最大值：根据正弦函数的值域特征（正弦部分的最大值为 1），计算出整体函数的最大值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

将函数解析式展开并进行恒等变换： $y=2{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x$

运用三角函数的二倍角公式：

• 降幂公式：$2{\sin }^{2}x=1-\cos 2x$
• 正弦倍角公式：$2\sin x\cos x=\sin 2x$

将上述公式代入原式： $y=(1-\cos 2x)+\sin 2x$ $y=\sin 2x-\cos 2x+1$

运用辅助角公式对 $\sin 2x-\cos 2x$ 进行合并： $\sin 2x-\cos 2x=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$

代回原函数解析式，得到标准简谐振动形式： $y=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)+1$

因为对任意实数 $x$，正弦函数均满足： $-1\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)\le 1$

所以，当 $\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=1$ 时，函数取得最大值： $y_{\max }=\sqrt{2}\times 1+1=1+\sqrt{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角公式（降幂与单角化倍角），辅助角公式 $a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\phi )$。
2. 核心方法：化异为同。通过降幂和倍角变换，将“异名、同角、二次”的复杂三角式统一化归为“同名、同角、一次”的标准型函数。
3. 避坑指南：

   • 极易将降幂公式 $2{\sin }^{2}x=1-\cos 2x$ 记错符号，误记为 $1+\cos 2x$（这是 $2{\cos }^{2}x$ 的降幂公式）。

   • 合成后切勿忘记加上尾项的常数 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于典型的三角振幅合成问题，直接取材于高中数学必修中关于三角恒等变换的经典例题及变形。
2. 结论推广: 对于形如 $y=2\sin x(m\sin x+n\cos x)$ 形式的三角函数，其通用化简结果为 $y=m(1-\cos 2x)+n\sin 2x=n\sin 2x-m\cos 2x+m$。利用辅助角公式可得其最大值计算通式为：$y_{\max }=\sqrt{m^2+n^2}+m$。本题即为 $m=1,n=1$ 时的特例，代入通式得 $\sqrt{1^2+1^2}+1=1+\sqrt{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值
• 2006-陕西文-18 解-辅助角与周期最值