2004-全国卷I理-17 解-三角恒等变换

本题导读

本题考查三角恒等变换，以及三角函数的周期与最值。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷I(理)） 求函数 $f(x)=\frac{{\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}{2-\sin 2x}$ 的最小正周期、最大值和最小值.

🔍【思路分析】

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1. 化简分子：用完全平方公式把 ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x$ 化为 $({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$，代入 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 降次。
2. 引入二倍角公式：把分子、分母中的 $\sin x\cos x$ 统一化为 $\sin 2x$，再因式分解约分。
3. 求周期与最值：由最简正弦型函数求最小正周期，结合正弦函数值域求最大、最小值。

✅【答案】

Success

函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$，最大值为 $\frac{3}{4}$，最小值为 $\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：化简分子 对分子作恒等变形： ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x={\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\text{（式1）}$ ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x+{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x={\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2-{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x\text{（式2）}$ 代入 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$： $\text{分子}=1^2-(\sin x\cos x{)}^2=1-(\sin x\cos x{)}^2\text{（式3）}$

• 第二步：统一化为二倍角并约分 由 $\sin 2x=2\sin x\cos x⟹\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$，代入（式3）： $\text{分子}=1-{\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)}^2=1-\frac{1}{4}{\sin }^{2}2x=\frac{4-{\sin }^{2}2x}{4}\text{（式4）}$ 用平方差公式分解： $\text{分子}=\frac{(2-\sin 2x)(2+\sin 2x)}{4}\text{（式5）}$

  代回原函数： $f(x)=\frac{\frac{(2-\sin 2x)(2+\sin 2x)}{4}}{2-\sin 2x}\text{（式6）}$ 因 $|\sin 2x|\le 1$，故 $2-\sin 2x\ge 1>0$ 恒成立，可约去该因式： $f(x)=\frac{2+\sin 2x}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\sin 2x\text{（式7）}$

• 第三步：求周期与最值

  • 最小正周期：（式7）是 $\omega =2$ 的正弦型函数，由 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$： $T=\frac{2\pi }{2}=\pi \text{（式8）}$

  • 最大值与最小值：由 $-1\le \sin 2x\le 1$： $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times (-1)\le \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\sin 2x\le \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times 1\text{（式10）}$ $\frac{1}{4}\le f(x)\le \frac{3}{4}\text{（式11）}$

    当 $\sin 2x=1$（如 $x=\frac{\pi }{4}$）时取最大值： $f(x{)}_{\text{max}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\text{（式12）}$ 当 $\sin 2x=-1$（如 $x=-\frac{\pi }{4}$）时取最小值： $f(x{)}_{\text{min}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\text{（式13）}$

答：函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$，最大值为 $\frac{3}{4}$，最小值为 $\frac{1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：用配方 ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ 降幂；分式约分中分母非零的核验。
2. 核心方法：因式分解法、倍角化归法。
3. 避坑指南：
   • 未化简就直接求导求最值：对原分式直接求导会产生很繁的多项式，不易解零点。应先通过配方或二倍角公式把分子、分母中的高次项统一降幂、化为单一的正弦型函数，再求周期与最值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 同角三角函数基本关系与倍角公式的综合化简求值，出自”三角恒等变换”一章。
2. 结论推广: 利用 ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=1-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ 降幂，再以 $\sin 2x$ 为纽带，可将 ${\sin }^{4}x$、${\cos }^{4}x$、${\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$ 的任意线性组合统一化为关于 $\sin 2x$ 的二次式，进而求周期与最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 1986-上海文-32 解-三角式的最值
• 1986-广东理-13 单-三角函数的最值