2003-广东卷-02 单-同角三角函数的基本关系

本题导读

本题主要考查同角三角函数关系及二倍角公式。解题关键在于先根据自变量 $x$ 所在的象限确定 $\sin x$ 及 $\tan x$ 的符号并求出对应数值，再直接代入二倍角的正切公式进行定量计算。

📌【题干】

Question

（2003年广东卷） 已知 $x\in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$，$\cos x=\frac{4}{5}$，则 $\tan 2x=$()

A. $\frac{7}{24}$　　　　　　B. $-\frac{7}{24}$　　　　　　C. $\frac{24}{7}$　　　　　　D. $-\frac{24}{7}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定象限与符号：由 $x\in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$ 得知 $x$ 为第四象限角。在第四象限内，正弦值和正切值均为负数。

2. 求出单角正切值：利用同角三角函数关系 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 求出 $\sin x$，进而通过 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ 算出 $\tan x$。

3. 应用倍角公式：将 $\tan x$ 的值代入二倍角公式 $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$ 中计算最终结果。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $x\in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$，所以 $x$ 是第四象限角， 此时 $\sin x<0$。

根据同向三角函数基本关系， $\sin x=-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=-\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=-\frac{3}{5}$

因此， $x$ 的正切值为： $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}$

将 $\tan x=-\frac{3}{4}$ 代入二倍角的正切公式中： $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}=\frac{2\times \left(-\frac{3}{4}\right)}{1-{\left(-\frac{3}{4}\right)}^2}$

分子分母展开化简： $\tan 2x=\frac{-\frac{3}{2}}{1-\frac{9}{16}}=\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}$ $\tan 2x=-\frac{3}{2}\times \frac{16}{7}=-\frac{24}{7}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：第四象限角的三角函数符号规律，二倍角正切公式 $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$。

2. 核心方法：单角三角名转化。通过先求出最基础的单角正切 $\tan x$，从而统一运算维度。

3. 避坑指南：容易忽视区间 $x\in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$ 带来的符号约束，若错将 $\sin x$ 算作正数 $\frac{3}{5}$，会导致 $\tan x=\frac{3}{4}$，从而误选 (C)。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于教材中三角函数基本性质与两角和正切公式的应用延伸，属于高考常规高频基础分值题。
2. 结论推广: 已知 $\cos x=\frac{m}{n}$ ($n>m>0$) 且 $x$ 为第四象限角，则有 $\tan x=-\frac{\sqrt{n^2-m^2}}{m}$。代入倍角公式可得通解：$\tan 2x=\frac{2m\sqrt{n^2-m^2}}{2m^2-n^2}$。本题即为 $m=4,n=5$ 时的特例。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值
• 1977-甘肃-01 解-数的大小比较四问