2004-北京卷理-09 填-二倍角的正弦公式

本题导读

本题考查二倍角的正弦公式，以及辅助角公式。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(理)） 函数 $y=\cos 2x-2\sqrt{3}\sin x\cos x$ 的最小正周期是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用二倍角公式化简：第二项 $2\sqrt{3}\sin x\cos x$ 中，由 $2\sin x\cos x=\sin 2x$，化为 $\sqrt{3}\sin 2x$。
2. 用辅助角公式合并：原式化为 $y=\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x$，提取公因数后化为正弦（或余弦）型单三角函数。
3. 求周期：读出角速度系数 $\omega$，用 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 计算。

✅【答案】

Success

$\pi$

✍【详细解析】

Abstract

由二倍角正弦公式 $2\sin x\cos x=\sin 2x$，原式化为： $y=\cos 2x-\sqrt{3}(2\sin x\cos x)$ $y=\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x$

调整两项顺序： $y=-\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x$

用辅助角公式，提取公因数 $A=\sqrt{(-\sqrt{3}{)}^2+1^2}=\sqrt{3+1}=2$： $y=2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x\right)$

因为 $\cos \frac{5\pi }{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$， $\sin \frac{5\pi }{6}=\frac{1}{2}$（或采用两角和的正弦公式展开），上式可归结为： $y=2\left(\sin 2x\cdot \cos \frac{5\pi }{6}+\cos 2x\cdot \sin \frac{5\pi }{6}\right)$ $y=2\sin \left(2x+\frac{5\pi }{6}\right)$

此时角速度系数为： $\omega =2$

由周期公式： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{2}=\pi$

故答案为： $\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角正弦公式的逆用；辅助角公式 $a\sin \theta +b\cos \theta =\sqrt{a^2+b^2}\sin (\theta +\phi )$；周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。
2. 核心方法：三角恒等变换法。
3. 避坑指南：
   • 公式系数提取错误：提取模长 2 后，括号内各分量正负号易算错（如错写为 $-\frac{\pi }{6}$），须核对两角和的正弦公式。
   • 角速度 $\omega$ 与周期关系混淆：周期是 $2\pi$ 除以 $\omega$，勿误乘。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是 2004 年高考北京卷理科数学第 9 题，考查三角函数基础变形与性质，属常规题。
2. 结论推广: 对于 $y=a\cos \omega x+b\sin \omega x$（$\omega \ne 0$），可用辅助角公式化为 $y=\sqrt{a^2+b^2}\sin (\omega x+\phi )$，其最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 1981-全国文-04 解-正弦型函数的最值
• 1986-广东文-23 单-正弦型函数的单调区间