2002-苏豫粤卷-01 单-三角函数的最小正周期

本题导读

本题考查分式形式三角函数的最小正周期求解。核心意图在于测试学生利用二倍角公式化简三角函数解析式的能力，并检验学生是否注意到分母不为零对函数定义域及周期的潜在约束。

📌【题干】

Question

（2002年苏豫粤卷） 函数 $f(x)=\frac{\sin 2x}{\cos x}$ 的最小正周期是()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　　B. $\pi$　　　　　　　　C. $2\pi$　　　　　　　　D. $4\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：首先确定函数的定义域，分母不能为零，即 $\cos x\ne 0⟺x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$。
2. 第二步逻辑：利用正弦二倍角公式将分子展开为 $\sin 2x=2\sin x\cos x$。
3. 第三步逻辑：在定义域内约去分子分母的公因式 $\cos x$，将解析式化简为 $f(x)=2\sin x(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi )$。结合正弦函数的周期性与定义域挖去点的周期性，确定最终的最小正周期。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定函数的定义域 对于函数 $f(x)=\frac{\sin 2x}{\cos x}$，其分母必须有意义： $\cos x\ne 0⟺x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$

第二步：化简函数解析式 利用正弦二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$，将原解析式变形为： $f(x)=\frac{2\sin x\cos x}{\cos x}$

在定义域范围内（$\cos x\ne 0$），可以约去分子分母中的 $\cos x$，得到： $f(x)=2\sin x\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}\right)$

第三步：判定最小正周期

• 基础函数 $y=2\sin x$ 的最小正周期为 $2\pi$。
• 考察被定义域挖去的不连续点集 $X=\left\{x|x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbf{Z}\right\}$。该点集的重复周期为 $\pi$。
• 为了使函数 $f(x+T)=f(x)$ 对定义域内的一切 $x$ 恒成立，周期 $T$ 必须同时是基础解析式和定义域边界点集的公共周期。
• 因为 $2\pi$ 是 $\pi$ 的整数倍，所以当 $T=2\pi$ 时，既能满足 $2\sin (x+2\pi )=2\sin x$，又能保证平移后的自变量不会落在被挖去的断点上。

综上所述，函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $2\pi$。

正确答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦二倍角公式的直接代换；分式函数化简前后的定义域等价性。
2. 核心方法：恒等变形法。
3. 避坑指南：

• 忽略定义域陷阱：部分学生在约分后得到 $f(x)=2\sin x$，直接得出周期为 $2\pi$。若题目变更为 $f(x)=\frac{\cos 2x}{\cos x-\sin x}$，化简后为 $\cos x+\sin x$，若忽略定义域限制，极易对周期判定造成逻辑漏洞，务必养成“求周期先看定义域”的习惯。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属三角函数恒等变换板块的基础题，考查 $f(x)=\frac{\sin 2x}{\cos x}$ 化简后求最小正周期。
2. 结论推广: 对于所有形如 $f(x)=\frac{\sin (2\omega x)}{\cos (\omega x)}(\omega >0)$ 的复合三角分式函数： 在满足 $\cos (\omega x)\ne 0$ 的定义域内，均可一元化恒等变形为： $f(x)=2\sin (\omega x)$ 由于基础正弦函数 $y=2\sin (\omega x)$ 的周期为 $T_1=\frac{2\pi }{\omega }$，定义域禁区点集的周期为 $T_2=\frac{\pi }{\omega }$。两者的最小公倍周期恒为 $\frac{2\pi }{\omega }$。因此该类函数的最小正周期公式可直接总结为： $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 本题中 $\omega =1$，直接代入通式得 $T=2\pi$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 1987-上海-06 填-含绝对值三角函数的周期
• 1987-全国文-09 填-三角函数的周期