2003-辽宁卷-02 单-同角三角函数基本关系

本题导读

本题核心考查同角三角函数的基本关系及正切的二倍角公式。解题关键在于由自变量 $x$ 的取值区间判定单角的正弦与正切值的正负号，进而通过二倍角公式准确计算出目标值。

📌【题干】

Question

（2003年辽宁卷） 已知 $x\in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$，$\cos x=\frac{4}{5}$，则 $\tan 2x=$()

A. $\frac{7}{24}$　　　　　　B. $-\frac{7}{24}$　　　　　　C. $\frac{24}{7}$　　　　　　D. $-\frac{24}{7}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判定单角象限与符号：由 $x\in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$ 可知 $x$ 为第四象限角。在第四象限内，余弦值为正，正弦值与正切值均为负。

2. 计算单角正切值：利用 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ 计算出 $\sin x$，再利用商数关系 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ 得到 $\tan x$ 的值。

3. 应用二倍角公式求解：将 $\tan x$ 的值代入二倍角通式 $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$ 中计算最终结果。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $x\in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$，所以 $x$ 是第四象限角，其正弦值满足 $\sin x<0$。

已知 $\cos x=\frac{4}{5}$，根据同角三角函数的平方关系： $\sin x=-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=-\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=-\frac{3}{5}$

根据同角三角函数的商数关系： $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}$

将 $\tan x=-\frac{3}{4}$ 代入正切的二倍角公式中： $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}=\frac{2\times \left(-\frac{3}{4}\right)}{1-{\left(-\frac{3}{4}\right)}^2}$

分子与分母分别化简：

• 分子：$2\times \left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{3}{2}$
• 分母：$1-\frac{9}{16}=\frac{7}{16}$

组合并计算最终分式结果： $\tan 2x=\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}=-\frac{3}{2}\times \frac{16}{7}=-\frac{24}{7}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数在第四象限的符号特征（各象限符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦），同角三角函数基本关系式，正切二倍角公式。
2. 核心方法：代数公式求值法。
3. 避坑指南：

   • 极易忽略开方求正弦值时的符号限制，若误认为 $\sin x=\frac{3}{5}$，会导致算得 $\tan x=\frac{3}{4}$，最终会错选 C。

   • 在计算二倍角分式时，注意分母中 $1-{\tan }^{2}x$ 的符号变号细节，防止粗心漏掉负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于三角恒等变换板块中的基础送分题，直接考查教材中关于“同角三角函数关系”与“二倍角公式”基础概念公式的直接代数运算。
2. 结论推广: 若已知 $\cos x=\frac{m}{n}$（$n>m>0$）且 $x$ 为第四象限角，则 $\tan x=-\frac{\sqrt{n^2-m^2}}{m}$。直接代入二倍角通式展开，可得到关于边长参数的通用表达式： $\tan 2x=\frac{-2m\sqrt{n^2-m^2}}{2m^2-n^2}$ 本题中代入 $m=4,n=5$，可直接验算：$\tan 2x=\frac{-2\times 4\times 3}{2\times 16-25}=-\frac{24}{7}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值
• 1977-江西-07 填-二倍角求角