2004-全国卷IV理-15 填-二倍角公式

本题导读

本题考查二倍角公式，以及三角函数的最值问题。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷IV(理)） 函数 $f(x)=\cos x-\frac{1}{2}\cos 2x(x\in \mathbf{R})$ 的最大值等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一角度和函数名称：函数式中含有 $\cos x$ 和 $\cos 2x$，利用二倍角余弦公式 $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$ 进行代换，将整个表达式完全转化为关于 $\cos x$ 的一元二次结构。
2. 换元定义域限制：令 $t=\cos x$，因为 $x\in \mathbf{R}$，根据余弦函数的值域特征，新变量 $t$ 存在严格的闭区间约束： $t\in [-1,1]$。
3. 配方法求最值：将原式化为关于 $t$ 的二次函数 $g(t)$，利用配方法确定其抛物线的对称轴，判定对称轴是否落在区间 $[-1,1]$ 内，进而求出该段区间上的最大值。

✅【答案】

Success

$\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

解： 利用二倍角余弦公式 $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$，将原函数解析式变形： $f(x)=\cos x-\frac{1}{2}(2{\cos }^{2}x-1)$ 展开多项式并合并同类项： $f(x)=\cos x-{\cos }^{2}x+\frac{1}{2}$ $f(x)=-{\cos }^{2}x+\cos x+\frac{1}{2}$

令 $t=\cos x$，因为 $x\in \mathbf{R}$，所以 $t$ 的取值范围为： $t\in [-1,1]$

原函数转化为关于 $t$ 的一元二次函数 $g(t)$： $g(t)=-t^2+t+\frac{1}{2}(t\in [-1,1])$

对该二次函数进行配方： $g(t)=-\left(t^2-t\right)+\frac{1}{2}=-{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=-{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}$

由此可知，该二次函数对应的抛物线开口向下，其顶点对称轴为： $t=\frac{1}{2}$ 因为 $t=\frac{1}{2}$ 恰好包含在受限区间 $[-1,1]$ 内部， 所以当 $t=\frac{1}{2}$（即 $\cos x=\frac{1}{2}$）时，函数取得绝对最大值，最大值为抛物线的顶点纵坐标： $g\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}$

答：$\frac{3}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦二倍角公式的变形、换元法后二次函数在闭区间上的最值判定。
2. 核心方法：配方法、代数换元法。
3. 避坑指南：
   • 换元后千万不能漏掉新自变量的取值范围 $t\in [-1,1]$。虽然本题的对称轴 $\frac{1}{2}$ 刚好在区间内，直接配方即是答案，但如果遇到对称轴在区间之外的题目（例如对称轴为 $1.5$），不加范围直接写顶点坐标就会导致全盘皆输。养成“换元必先写范围”的数理习惯是规避大题扣分的关键。
   • 注意二倍角展开时括号外面的负号分配律： $-\frac{1}{2}(-1)=+\frac{1}{2}$，防止因常数项符号算反而导致结果偏差。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典三角求值与一元二次函数最值板块交汇的标准填空题。
2. 结论推广: 一般地，对于形如 $f(x)=A\cos x+B\cos 2x$ 类型的最值问题，标准统一化图形永远是将其化为 $f(x)=-2B{\cos }^{2}x+A\cos x+B$。通过求导或配方法，其临界最值必然在顶角对称轴 $\cos x=\frac{A}{4B}$（当其模长小于等于1时）或边界端点 $\cos x=\pm 1$ 处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-30 填-函数的值域
• 2006-广东卷-15 解-辅助角三角最值
• 2006-重庆文-18 解-辅助角三角最值