1990-广东理-31 解-线面垂直与二面角

本题导读

本题考查线面垂直的证明与二面角的求法。核心在于证明 $SC\perp$ 面 $BDE$，并确定二面角的平面角。

📌【题干】

Question

（1990年广东卷(理)） 如图，在三棱锥 $S-ABC$ 中，$SA\perp$ 底面 $ABC$，$AB\perp BC$，$DE$ 垂直平分 $SC$，且分别交 $AC,SC$ 于 $D,E$，又 $SA=AB=a$，$BC=\sqrt{2}a$.

(1)求证：$SC\perp$ 面 $BDE$；

(2)求面 $BDE$ 与面 $BDC$ 所成的二面角的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）证 $SC\perp BE$、$SC\perp DE$ 得线面垂直；（2）证 $BD\perp$ 面 $SAC$，得 $\angle EDC$ 为二面角平面角。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析；(2)$60^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因 $SA\perp$ 底面 $ABC$，故 $SA\perp AB$。在 $\mathrm{Rt}△SAB$ 中 $SA=AB=a$，得 $SB=\sqrt{2}a$。又 $BC=\sqrt{2}a$，且 $E$ 是 $SC$ 中点，所以在等腰 $△SBC$ 中 $BE$ 是底边 $SC$ 的中线，从而 $SC\perp BE$。又 $SC\perp DE$，且 $BE\cap DE=E$，故 $SC\perp$ 面 $BDE$。

（2）由（1）知 $SC\perp BD$。又 $SA\perp$ 底面 $ABC$，$BD\subset$ 底面，故 $SA\perp BD$。因 $SA\cap SC=S$，故 $BD\perp$ 面 $SAC$。于是 $DE,DC$ 分别是面 $SAC$ 与面 $BDE$、面 $BDC$ 的交线，$\angle EDC$ 是所求二面角的平面角。在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中 $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=\sqrt{3}a$。又 $SA\perp AC$，故 $\tan \angle ACS=\frac{SA}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即 $\angle ACS=30^{\circ }$。由 $DE\perp SC$ 得 $\angle EDC=60^{\circ }$。故所求二面角为 $60^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直与二面角

核心方法：证线面垂直，求二面角平面角。

避坑指南：线面垂直+二面角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面垂直判定与二面角。

结论推广：SC⊥面BDE。

方法推广：二面角平面角

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1992-三南-25 解-线面垂直与线面平行
• 1991-三南-27 解-空间向量证线线垂直
• 1991-上海-24 解-线面角与二面角的求法