1988-全国卷理-15 单-斜线与射影所成的角

本题导读

本题考查空间点线面位置关系，以及射影定理与三垂线定理。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(理)） 已知二面角 $\alpha -AB-\beta$ 的平面角是锐角， $C$ 是平面 $\alpha$ 内一点（它不在棱 $AB$ 上），点 $D$ 是点 $C$ 在面 $\beta$ 上的射影，点 $E$ 是棱 $AB$ 上满足 $\angle CEB$ 为锐角的任一点，那么 ()

A. $\angle CEB>\angle DEB$　　　　　　　　　　B. $\angle CEB=\angle DEB$ C. $\angle CEB<\angle DEB$　　　　　　　　　　D. $\angle CEB$ 与 $\angle DEB$ 的大小关系不能确定

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构造垂直关系： 过点 $C$ 作 $CH\perp AB$ 于 $H$。由于 $CD\perp \beta$，由三垂线定理的逆定理可知，$DH\perp AB$。此时 $\angle CHD$ 即为二面角 $\alpha -AB-\beta$ 的平面角。
2. 比较线段长度： 在 $\text{Rt}△CHD$ 中，斜边 $CH>DH$。
3. 建立三角函数关系： 过 $H$ 作棱 $AB$ 的垂线，分析点 $E$ 在棱 $AB$ 上的任意位置。在 $\text{Rt}△CHE$ 和 $\text{Rt}△DHE$ 中，由于 $CH\perp AB$ 且 $DH\perp AB$，可知 $△CHE$ 和 $△DHE$ 均为直角三角形，且 $\angle CHE=\angle DHE=90^{\circ }$。利用公共边 $HE$ 与 $CH>DH$ 的条件比较余切值或正切值，进而确定角度大小。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

过点 $C$ 作 $CH\perp AB$ 于 $H$，连接 $DH$。 因为 $CD\perp$ 平面 $\beta$，且 $CH\perp AB$， 由三垂线定理的逆定理得 $DH\perp AB$。 因为 $CD\perp$ 平面 $\beta$，所以 $DE$ 是 $CE$ 在平面 $\beta$ 内的射影。 又 $AB$ 是平面 $\beta$ 内的直线，根据最小角定理，斜线与平面内直线所成的角，不小于其射影与该直线所成的角，即 $\angle (CE,AB)\ge \angle (DE,AB)$。 由题设，$\angle CEB$ 为锐角，此时 $\angle CEB$ 就是 $CE$ 与 $AB$ 所成的线线角，$\angle DEB$ 就是 $DE$ 与 $AB$ 所成的线线角。又 $C$ 在平面 $\alpha$ 内而不在 $\beta$ 内，$CE$ 不是平面 $\beta$ 的垂线，故取严格不等号： $\angle CEB>\angle DEB$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点： 空间中斜线与其射影跟平面内直线的夹角关系。
2. 核心方法： - 三垂线法： 通过作棱的垂线，建立空间的两重垂直关系，将空间角的大小比较转化为平面直角三角形内的边角关系。
   • 射影不变量原理： 平面的一条斜线与平面内直线的夹角，大于或等于该斜线在平面上的射影与该直线的夹角。这里 $CE$ 在面 $\beta$ 上的射影为 $DE$，且 $AB$ 是面 $\beta$ 内的直线，故有 $\angle (CE,AB)>\angle (DE,AB)$。由于两夹角均为锐角，且 $\angle CEB$, $\angle DEB$ 分别为其补角，故钝角方向相反。
3. 避坑指南： - 容易混淆“两条直线的夹角”与“实际字母排列的 $\angle CEB$”的概念。两直线夹角定义在 $(0,\frac{\pi }{2}]$ 之间，而本题中由于 $\angle CEB$ 是锐角，其邻补角 $\angle CEH$ 才是两斜线与棱所成的锐夹角，从而导致方向大小发生颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题属于立体几何中关于“最小角定理”的经典变形考查。最小角定理指出：平面的斜线与平面内任一直线所成的角，不小于该斜线与它在平面内射影所成的角。
2. 结论推广： 设斜线 $l$ 与平面 $\beta$ 所成角为 ${\theta }_1$， $l$ 在 $\beta$ 内的射影为 $l^{\prime }$， $\beta$ 内有一条直线 $m$ 且 $l^{\prime }$ 与 $m$ 的夹角为 ${\theta }_2$，$l$ 与 $m$ 的夹角为 $\theta$，则有： $\cos \theta =\cos {\theta }_1\cdot \cos {\theta }_2$ 由此可得 $\cos \theta \le \cos {\theta }_2$，在锐角范围内即 $\theta \ge {\theta }_2$，即斜线与平面内直线的夹角大于或等于射影与该直线的夹角。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-02 单-斜线与平面内直线的位置关系
• 1990-广东理-31 解-线面垂直与二面角