1987-广东文-32 解-三棱台中的垂直与距离

本题导读

本题考查三棱台中的垂直关系与异面直线的距离。核心在于逐条证线线垂直并找公垂线。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(文)）在三棱台 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中，侧棱 $B_{1} B ⊥$ 底面 $A B C$ ，且 $∠ A B C = ∠ A A_{1} C = \frac{π}{2}$ ， $A B = 2 A_{1} B_{1} = 2 cm$ .

(1)求证： $B C ⊥ A_{1} B$ ， $B C ⊥ A_{1} A$ ， $A_{1} A ⊥ A_{1} B$ ；

(2)求异面直线 $A_{1} A$ 和 $B C$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

由线面垂直逐步推线线垂直，最后找公垂线 $A_{1} B$ 。

✅【答案】

Success

(1)证明见解析；(2) $2 cm$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $B_{1} B ⊥$ 底面 $A B C$ 得 $B_{1} B ⊥ B C$ ，又 $B C ⊥ A B$ 且 $A B \cap B_{1} B = B$ ，故 $B C ⊥$ 平面 $B B_{1} A_{1} A$ ，从而 $B C ⊥ A_{1} B$ 、 $B C ⊥ A_{1} A$ 。又 $A A_{1} ⊥ A_{1} C$ （题设 $∠ A A_{1} C = \frac{π}{2}$ ）且 $A A_{1} ⊥ B C$ ，故 $A A_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B C$ ，从而 $A A_{1} ⊥ A_{1} B$ 。（2） $A_{1} B ⊥ A A_{1}$ 且 $A_{1} B ⊥ B C$ ，故 $A_{1} B$ 是 $A A_{1}$ 与 $B C$ 的公垂线。由棱台性质 $A B ∥ A_{1} B_{1}$ ，且 $B_{1} B ⊥ A_{1} B_{1}$ 、 $A_{1} B ⊥ A A_{1}$ ，得 $△ A_{1} B_{1} B \sim △ B A_{1} A$ ，故 $A_{1} B^{2} = A_{1} B_{1} \cdot A B = 1 \cdot 2 = 2$ ，距离为 $2 cm$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱台中的垂直与距离

核心方法：三棱台侧棱垂直底面，逐条证垂直，公垂线 $A_{1} B$ 。

避坑指南：距离 $2$ cm。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三棱台垂直。

结论推广：线面垂直判定。

方法推广：公垂线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

1989-广东文-16 单-异面直线的公垂线

1988-全国文-22 解-线面垂直与向量夹角

1990-广东理-31 解-线面垂直与二面角

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1987-广东文-32 解-三棱台中的垂直与距离

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