1986-广东理-37 解-线面垂直与异面直线所成的角

本题导读

本题考查线面垂直的证明与异面直线所成角的求法。

📌【题干】

Question

（1986年广东卷(理)）设直线 $l ∥ γ$ ， $l ⊥ β$ ：

(1)（如图一）证明 $β ⊥ γ$ ；

(2)（如图二）假设 $γ \cap β = m$ ， $l \cap β = A$ ， $B \in γ$ ， $A B = a$ ， $A B$ 与 $β$ 所成的角为 $3 0^{\circ}$ ， $l$ 与 $γ$ 的距离为 $b$ ，求直线 $A B$ 与直线 $m$ 所成的角的大小（用反三角函数表示）.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)过 $l$ 作平面与 $γ$ 交于 $b$ ，证 $b ⊥ β$ 。(2)平移构角。

✅【答案】

Success

(1) 见解析

(2) $arcsin \frac{4 b ^{2} + a ^{2}}{2 a}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)过 $l$ 作平面 $α$ 与 $γ$ 交于 $b$ 。因 $l ∥ γ$ ，故 $l ∥ b$ ；因 $l ⊥ β$ ，故 $b ⊥ β$ ；因 $b \subset γ$ ，故 $γ ⊥ β$ 。 (2)在 $γ$ 内过 $B$ 作 $n ∥ m$ ，作 $A E ⊥ n$ 于 $E$ ，则 $∠ A B E$ 为 $A B$ 与 $m$ 所成角。作 $A D ⊥ m$ 于 $D$ ，因 $β ⊥ γ$ 、 $β \cap γ = m$ ，故 $A D ⊥ γ$ ， $A D = b$ （ $l$ 到 $γ$ 距离）。作 $B C ⊥ m$ 于 $C$ ，连 $A C$ ，因 $γ ⊥ β$ 故 $B C ⊥ β$ ， $∠ B A C = 3 0^{\circ}$ ， $B C = \frac{a}{2}$ 。连 $D E$ ， $D E ⊥ B E$ ， $D E ∥ B C$ 。在 Rt $△ A D E$ 中， $A E = A D^{2} + D E^{2} = b^{2} + \frac{a ^{2}}{4}$ 。 $sin ∠ A B E = \frac{A E}{A B} = \frac{b ^{2} + \frac{a ^{2}}{4}}{a} = \frac{4 b ^{2} + a ^{2}}{2 a}$ 。故 $∠ A B E = arcsin \frac{4 b ^{2} + a ^{2}}{2 a}$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直与异面直线所成的角

核心方法： $l ∥ γ$ 、 $l ⊥ β \Rightarrow β ⊥ γ$ ；作辅助线构角。

避坑指南： $∠ A B E = arcsin \frac{4 b ^{2} + a ^{2}}{2 a}$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面垂直。

结论推广：线面角与距离。

方法推广：反三角表示。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

1988-全国文-22 解-线面垂直与向量夹角

1990-广东理-31 解-线面垂直与二面角

∑ ( Math )

Explorer

1986-广东理-37 解-线面垂直与异面直线所成的角

📌【题干】

🔍【思路分析】

✅【答案】

✍【详细解析】

💡【考点归纳与避坑指南】

📖【试题探源与推广】

🔗【关联脉络】

Backlinks