1987-广东理-31 解-三棱台中的垂直与距离

本题导读

本题考查三棱台中的垂直关系与异面直线距离，核心在于逐条证线线垂直。

📌【题干】

Question

（1987年广东卷(理)） 在三棱台 $A_1{B}_1{C}_1-ABC$ 中，侧棱 $B_{1}B\perp$ 底面 $ABC$，且 $\angle ABC=\angle A{A}_{1}C=\frac{\pi }{2}$，$AB=2A_1{B}_1=2\mathrm{cm}$.(1)求证：$BC\perp A_{1}B$，$BC\perp A_{1}A$，$A_{1}A\perp A_{1}B$；(2)求异面直线 $A_{1}A$ 和 $BC$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

由线面垂直逐步推线线垂直，最后找公垂线 $A_{1}B$。

✅【答案】

Success

(1)见解析；(2)$\sqrt{2}\mathrm{cm}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $B_{1}B\perp$ 底面 $ABC$ 得 $B_{1}B\perp BC$，又 $BC\perp AB$ 且 $AB\cap B_{1}B=B$，故 $BC\perp$ 平面 $B{B}_1{A}_{1}A$，从而 $BC\perp A_{1}B$、$BC\perp A_{1}A$。又 $A{A}_1\perp A_{1}C$（题设）且 $A{A}_1\perp BC$，故 $A{A}_1\perp$ 平面 $A_{1}BC$，从而 $A{A}_1\perp A_{1}B$。（2）$A_{1}B\perp A{A}_1$ 且 $A_{1}B\perp BC$，故 $A_{1}B$ 是 $A{A}_1$ 与 $BC$ 的公垂线。由 $A_1{B}^2=A_1{B}_1\cdot AB=1\cdot 2=2$ 得 $A_{1}B=\sqrt{2}\mathrm{cm}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱台中的垂直与距离

核心方法：三棱台侧棱垂直底面，逐条证垂直，再求公垂线。

避坑指南：$A_{1}B$ 是 $A_{1}A$ 与 $BC$ 公垂线，距离 $\sqrt{2}$ cm。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三棱台垂直关系。

结论推广：逐条证线线垂直。

方法推广：线面垂直判定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-31 解-线面垂直与二面角
• 1988-全国文-22 解-线面垂直与向量夹角
• 1989-全国文-21 解-平行六面体的射影与体积