1988-全国文-22 解-线面垂直与向量夹角

本题导读

本题考查线面垂直与空间角。核心在于建系用向量求 $\angle ASD$ 的正弦。

📌【题干】

Question

（1988年全国卷(文)） 如图，四棱锥 $S-ABCD$ 的底面是边长为 $1$ 的正方形，侧棱 $SB$ 垂直于底面，并且 $SB=\sqrt{3}$，用 $\alpha$ 表示 $\angle ASD$，求 $\sin \alpha$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

建系求向量 $\overrightarrow{SA}$ 与 $\overrightarrow{SD}$ 的夹角。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $B$ 为原点，$BA$、$BC$、$BS$ 分别为 $x$、$y$、$z$ 轴正向。则 $A(1,0,0)$，$D(1,1,0)$，$S(0,0,\sqrt{3})$。$\overrightarrow{SA}=(1,0,-\sqrt{3})$，$\overrightarrow{SD}=(1,1,-\sqrt{3})$。$|\overrightarrow{SA}|=\sqrt{1+3}=2$，$|\overrightarrow{SD}|=\sqrt{1+1+3}=\sqrt{5}$，$\overrightarrow{SA}\cdot \overrightarrow{SD}=1+3=4$。$\cos \alpha =\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{4}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直与向量夹角

核心方法：建系用向量求 $\angle ASD$ 的正弦。

避坑指南：$SB\perp$ 底面。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线面垂直。

结论推广：向量夹角。

方法推广：建系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 1990-广东理-31 解-线面垂直与二面角
• 1990-广东文-32 解-线面垂直与二面角
• 1991-上海-24 解-线面角与二面角的求法