1986-全国理-08 单-空间线面垂直的判定

本题导读

本题考查空间线面垂直的判定，以及翻折几何不变量。

📌【题干】

Question

（1986年全国卷(理)）在正方形 $S G_{1} G_{2} G_{3}$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $G_{1} G_{2}$ 及 $G_{2} G_{3}$ 的中点， $D$ 是 $E F$ 的中点，现在沿 $S E$ 、 $S F$ 及 $E F$ 把这个正方形折成一个四面体，使 $G_{1}$ 、 $G_{2}$ 、 $G_{3}$ 三点重合，重合后的点记为 $G$ ，那么，在四面体 $S - E F G$ 中必有 ()

A. $S G ⊥ △ E F G$ 所在平面　　　　　　　　　B. $S D ⊥ △ E F G$ 所在平面

C. $GF ⊥ △ S E F$ 所在平面　　　　　　　　　D. $G D ⊥ △ S E F$ 所在平面

🔍【思路分析】

破题导航

识别翻折过程中的垂直不变量：

在原始正方形 $S G_{1} G_{2} G_{3}$ 中，相邻两边相互垂直，即 $S G_{1} ⊥ G_{1} E$ 且 $S G_{3} ⊥ G_{3} F$ 。

在顶点 $G_{2}$ 处，满足 $G_{2} E ⊥ G_{2} F$ 。

分析空间重合后的垂直关系：

翻折后 $G_{1}, G_{2}, G_{3}$ 坍缩为同一点 $G$ 。平面上的线段垂直关系映射为空间直线垂直关系。

考察点 $G$ 处的相交直线对： $S G$ 与 $GE$ 、 $S G$ 与 $GF$ 。

利用线面垂直判定定理输出结论：

若一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线垂直于该平面。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A 【解析过程】在正方形 $S G_{1} G_{2} G_{3}$ 中， $S G_{1} ⊥ G_{1} G_{2}$ ，故 $S G_{1} ⊥ G_{1} E$ ；同理 $S G_{3} ⊥ G_{3} F$ 。沿 $S E$ 、 $S F$ 、 $E F$ 翻折使 $G_{1}$ 、 $G_{2}$ 、 $G_{3}$ 重合为点 $G$ 后，平面上的垂直关系在空间中保持不变，于是 $S G ⊥ GE$ 、 $S G ⊥ GF$ 。而 $GE$ 、 $GF$ 是平面 $E F G$ 内两条相交直线（交点为 $G$ ），由线面垂直判定定理得 $S G ⊥$ 平面 $E F G$ 。分析选项： A 选项： $S G ⊥ △ E F G$ 所在平面，正确； B 选项： $S D ⊥ △ E F G$ 所在平面，错误； C 选项： $GF ⊥ △ S E F$ 所在平面，错误； D 选项： $G D ⊥ △ S E F$ 所在平面，错误。故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

翻折不变量：翻折过程中，未被折痕破坏的直角（如正方形的顶角）在空间化后仍保持垂直，这是解决翻折问题的关键。

线面垂直判定：要证 $S G ⊥$ 平面 $E F G$ ，只需证 $S G$ 垂直于平面 $E F G$ 内两条相交直线 $GE$ 、 $GF$ ，二者相交于 $G$ 这一条件必须交代。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于正方形折叠成四面体的经典模型，考查折叠前后垂直关系的保持，本质是线面垂直判定定理的应用，是“平面到空间”转化的典型素材。

结论推广：本题折叠后 $GE ⊥ GF$ ，故在四面体 $S - E F G$ 中，除 $S G ⊥$ 平面 $E F G$ 外，还有 $GE ⊥$ 平面 $S GF$ 、 $GF ⊥$ 平面 $S GE$ 。

方法推广：处理折叠问题先标出折叠前互相垂直的边，折叠后直接锁定重合点处的直角结构，无需另建坐标系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

1993-新高考文-27 解-面面垂直与线面垂直的证明

1993-新高考理-26 解-面面垂直与线面垂直的证明

1986-上海理-35 解-折叠与二面角

1988-全国文-22 解-线面垂直与向量夹角

∑ ( Math )

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1986-全国理-08 单-空间线面垂直的判定

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💡【考点归纳与避坑指南】

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