1979-全国理-06 解-空间向量证锐角

本题导读

本题考查用空间向量证明三角形为锐角三角形，以共顶点的三条两两垂直的棱为基底。

📌【题干】

Question

（1979年全国卷(理)） 6. 设三棱锥 $V-ABC$ 中，$\angle AVB=\angle BVC=\angle CVA=90^{\circ }$. 求证：$△ABC$ 是锐角三角形.

🔍【思路分析】

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设 $\mathbf{a}=\overrightarrow{VA},\mathbf{b}=\overrightarrow{VB},\mathbf{c}=\overrightarrow{VC}$，三者两两垂直则点积为 $0$；计算各顶点处两边向量点积均为正，故三角均为锐角。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

设 $\mathbf{a}=\overrightarrow{VA},\mathbf{b}=\overrightarrow{VB},\mathbf{c}=\overrightarrow{VC}$。由题设，$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$ 两两垂直，因此 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}=\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}=0$。 在点 $A$ 处，$\overrightarrow{AB}=\mathbf{b}-\mathbf{a},\overrightarrow{AC}=\mathbf{c}-\mathbf{a}$。所以 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot (\mathbf{c}-\mathbf{a})=|\mathbf{a}{|}^2>0$。 故 $\angle BAC$ 为锐角。 同理，在点 $B$ 处有 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=|\mathbf{b}{|}^2>0$， 在点 $C$ 处有 $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=|\mathbf{c}{|}^2>0$。 所以 $△ABC$ 的三个内角均为锐角，即 $△ABC$ 是锐角三角形。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间向量证锐角

核心方法：以 $\overrightarrow{VA},\overrightarrow{VB},\overrightarrow{VC}$ 为基底，两两垂直则点积为 $0$

避坑指南：任一顶点处两边向量点积为正，故该角为锐角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间向量

结论推广：两两垂直向量构成天然正交基

方法推广：向量点积判定角的种类

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01 空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 1983-全国理-10 解-三棱锥中的线面垂直
• 1988-全国文-22 解-线面垂直与向量夹角