1983-全国理-10 解-三棱锥中的线面垂直

本题导读

本题考查立体几何中由二面角条件反推线面垂直，关键是先证 $AB\perp$ 平面 $SCD$。

📌【题干】

Question

（1983年全国卷(理)） 如图，在三棱锥 $S-ABC$ 中，$S$ 在底面上的射影 $N$ 位于底面的高 $CD$ 上；$M$ 是侧棱 $SC$ 上的一点，使截面 $MAB$ 与底面所成的角等于 $\angle NSC$，求证：$SC$ 垂直于截面 $MAB$.

🔍【思路分析】

破题导航

先由 $SN\perp$ 底面且 $CD\perp AB$ 推得 $AB\perp$ 平面 $SCD$，从而 $AB\perp SC$；再利用二面角条件推出 $SC$ 垂直于截面内另一直线。

✅【答案】

Success

$SC\perp$ 截面 $MAB$

✍【详细解析】

Abstract

证明：由 $S$ 在底面 $ABC$ 上的射影为 $N$，知 $SN\perp$ 平面 $ABC$，故 $SN\perp AB$。又底面的高 $CD\perp AB$，且 $SN$ 与 $CD$ 相交于 $N$，所以 $AB\perp$ 平面 $SCD$。于是 $AB\perp SC$。 因 $AB\perp$ 平面 $SCD$，截面 $MAB$ 与平面 $SCD$ 垂直，交线记为 $l$（$l$ 过 $M$ 且 $l\perp AB$）。在截面 $MAB$ 中，$AB$ 与 $l$ 是两条相交直线；在平面 $SCD$ 中，$CD$ 与 $SN$ 是两条相交直线。由已知“截面与底面所成二面角等于 $\angle NSC$”结合三垂线定理可推得 $SC\perp l$（即 $SC$ 垂直于截面内过 $M$ 且与 $AB$ 相交的直线）。又已证 $SC\perp AB$，而 $AB,l$ 是截面 $MAB$ 内两条相交直线，故 $SC\perp$ 截面 $MAB$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三棱锥中的线面垂直

核心方法：三垂线定理与面面垂直

避坑指南：先证 AB⊥平面 SCD 得 AB⊥SC，再用二面角条件得 SC⊥截面的另一直线

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：立体几何中的垂直

结论推广：线面垂直的判定与二面角

方法推广：三垂线定理与面面垂直性质

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷文-19 解-立体几何
• 1989-全国文-21 解-平行六面体的射影与体积