1991-三南-12 单-极坐标方程化直角坐标

本题导读

本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，以及二次齐次方程所表示的曲线。

📌【题干】

Question

（1991年三南） 极坐标方程 $4\sin 2\theta =3$ 表示的曲线是()

A. 二条射线　　　　　B. 二条相交直线　　　　　C. 圆　　　　　D. 抛物线

🔍【思路分析】

破题导航

用 $x=\rho \cos \theta$、$y=\rho \sin \theta$ 化直角坐标方程，再判断曲线类型。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin 2\theta =\frac{2xy}{x^2+y^2}$，原方程化为 $8xy=3(x^2+y^2)$，即 $3x^2-8xy+3y^2=0$，是过原点的二次齐次方程。对应斜率满足 $3m^2-8m+3=0$，有 $m=\frac{4\pm \sqrt{7}}{3}$ 两不同实根，表示两条相交直线。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标方程化直角坐标

核心方法：4sin2θ=3 化为 8xy=3(x²+y²)，即 3x²−8xy+3y²=0，是两条相交直线。

避坑指南：极坐标化直角坐标

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标方程用 x=ρcosθ、y=ρsinθ、ρ²=x²+y² 化直角坐标。

结论推广：二次齐次方程表示过原点的两条直线。

方法推广：极坐标曲线类型判定常化为直角坐标方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1992-三南-07 单-椭圆的极坐标方程
• 1993-上海-09 填-极坐标中平行于极轴的直线
• 1995-上海理-16 填-极坐标方程化直角坐标方程