1991-上海-10 填-圆的极坐标方程

本题导读

本题考查由圆心极坐标与半径写出圆的极坐标方程。

📌【题干】

Question

（1991年上海卷） 设有半径为 $4$ 的圆，它在极坐标系内的圆心坐标是 $(4,\pi )$，则这圆的极坐标方程是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

由圆心 $(r_0,{\theta }_0)$ 的圆方程公式代入。

✅【答案】

Success

$\rho =-8\cos \theta$

✍【详细解析】

Abstract

圆心为 $(4,\pi )$ 即直角坐标 $(-4,0)$，半径 $4$。圆的极坐标方程 ${\rho }^2-2\cdot 4\rho \cos (\theta -\pi )+4^2-4^2=0$ 化简为 ${\rho }^2+8\rho \cos \theta =0$，即 $\rho =-8\cos \theta$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的极坐标方程

核心方法：由圆心极坐标与半径写出圆的极坐标方程。

避坑指南：圆的极坐标方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标下圆的方程形式简洁。

结论推广：圆心 (r₀,θ₀) 的圆：ρ²−2r₀ρcos(θ−θ₀)+r₀²=R²。

方法推广：记住特殊位置

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1992-上海-19 单-极坐标中直线与圆
• 1991-三南-12 单-极坐标方程化直角坐标
• 1994-上海-13 单-极坐标下直线的方程