2000-广东卷理-08 单-极坐标与直角坐标的互化

本题导读

本题考查圆的极坐标方程的求解。可以通过极坐标直接利用余弦定理列式，也可以先将圆心坐标转化为直角坐标，写出直角坐标方程后再转化为极坐标方程。

📌【题干】

Question

（2000年广东卷） 以极坐标系中的点 $(1,1)$ 为圆心，$1$ 为半径的圆的方程是()

A. $\rho =2\cos \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)$　　B. $\rho =2\sin \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)$　　C. $\rho =2\cos (\theta -1)$　　D. $\rho =2\sin (\theta -1)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确圆心在极坐标系中的坐标为 $({\rho }_0,{\theta }_0)=(1,1)$，半径为 $r=1$。
2. 设圆上任意一点的极坐标为 $(\rho ,\theta )$。
3. 利用极径构造三角形，根据余弦定理，极点 $O$、圆心 $C(1,1)$ 和动点 $P(\rho ,\theta )$ 构成的三角形中，已知 $OC=1,CP=1,OP=\rho$，夹角 $\angle POC=|\theta -1|$。
4. 代入余弦定理公式 $C{P}^2=O{C}^2+O{P}^2-2\cdot OC\cdot OP\cdot \cos (\angle POC)$ 进行化简即可得到结果。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设极坐标系极点为 $O$。已知圆心 $C$ 的极坐标为 $(1,1)$，即极径 ${\rho }_0=1$，极角 ${\theta }_0=1$ (弧度)。圆的半径 $R=1$。

设圆上任意一点 $P$ 的极坐标为 $(\rho ,\theta )$。 在 $△OCP$ 中，边长 $OC={\rho }_0=1$，边长 $OP=\rho$。 $C$ 到 $P$ 的距离即为圆的半径，所以 $CP=R=1$。 极点 $O$ 与 $C,P$ 连线的夹角为 $|\theta -{\theta }_0|=|\theta -1|$。

根据余弦定理： $C{P}^2=O{C}^2+O{P}^2-2\cdot OC\cdot OP\cdot \cos (\theta -1)$ 代入具体数值： $1^2=1^2+{\rho }^2-2\cdot 1\cdot \rho \cdot \cos (\theta -1)$ 化简得： $1=1+{\rho }^2-2\rho \cos (\theta -1)$ ${\rho }^2-2\rho \cos (\theta -1)=0$

因为点 $P$ 不全在极点（除了 $\rho =0$ 的特殊情况），提取公因式 $\rho$： $\rho [\rho -2\cos (\theta -1)]=0$ 从而得到圆的极坐标方程为（当 $\rho \ne 0$ 时）： $\rho =2\cos (\theta -1)$ 此方程也包含了极点 $(0,\text{任意角})$ 的情况（当 $\theta -1=\frac{\pi }{2}+k\pi$ 时，$\rho =0$）。

正确选项为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的一般极坐标方程的推导（基于余弦定理）。
2. 核心方法：几何法（余弦定理）直接列式最为快捷。
3. 避坑指南：

• 不要把极角 ${\theta }_0=1$ 误认为是度数或特殊角。题目中 $(1,1)$ 代表极径为 1，极角为 1 弧度。
• 看到 $(1,1)$ 极易联想到直角坐标系的 $(1,1)$，从而误以为极角是 $\frac{\pi }{4}$ 而错选 A 或 B。必须仔细审题“极坐标系中的点”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查解析几何中极坐标的基本定义及利用极坐标表示曲线。
2. 结论推广：若圆心极坐标为 $({\rho }_0,{\theta }_0)$，半径为 $r$，则圆的极坐标方程为 ${\rho }^2-2{\rho }_0\rho \cos (\theta -{\theta }_0)+{\rho }_0^2=r^2$。特别地，当圆过极点，即 ${\rho }_0=r$ 时，方程退化为 $\rho =2r\cos (\theta -{\theta }_0)$。本题正属于此特殊情况。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1987-广东理-27 填-圆的极坐标方程
• 1991-上海-10 填-圆的极坐标方程
• 1977-内蒙古理-01 解-代数运算与极坐标