1983-全国理-06 解-函数图象与极坐标方程

本题导读

本题考查函数图象的绘制与极坐标方程化直角坐标，注意交点的坐标求解。

📌【题干】

Question

（1983年全国卷(理)） (1) 在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程 $y=-\sqrt{x}$，$x=\sqrt{-y}$ 的图形，并写出它们交点的坐标.

(2) 在极坐标系内，方程 $\rho =5\cos \theta$ 表示什么曲线？画出它的图形.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 联立两方程求交点；(2) 两边乘 $\rho$ 化为直角坐标方程识别为圆。

✅【答案】

Success

(1) 交点坐标为 $(0,0),(1,-1)$ (2) 曲线为圆

✍【详细解析】

Abstract

(1) $y=-\sqrt{x}$ 的定义域为 $x\ge 0$，图象为抛物线 $x=y^2$ 的下半支；$x=\sqrt{-y}$ 的定义域为 $y\le 0$，即 $y=-x^2(x\ge 0)$，为开口向下的抛物线的右半支。联立得交点 $(0,0)$ 与 $(1,-1)$。(2) $\rho =5\cos \theta$ 两边同乘 $\rho$ 得 ${\rho }^2=5\rho \cos \theta$，化为直角坐标 $x^2+y^2=5x$，即 ${\left(x-\frac{5}{2}\right)}^2+y^2=\frac{25}{4}$，表示圆心 $\left(\frac{5}{2},0\right)$、半径 $\frac{5}{2}$ 的圆。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数图象与极坐标方程

核心方法：数形结合与坐标互化

避坑指南：极坐标方程 ρ=5cosθ 乘 ρ 化为直角坐标即得圆

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：图象与极坐标

结论推广：ρ=2a cosθ 是过极点、圆心在极轴上的圆

方法推广：极坐标与直角坐标互化

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1985-全国理-04 单-极坐标方程的图象
• 2000-广东卷理-08 单-极坐标与直角坐标的互化