1982-全国理-06 解-极坐标轨迹方程

本题导读

本题考查极坐标下动点轨迹方程的建立，利用四边形面积等于常数 $c^2$ 列式后和差化积。

📌【题干】

Question

（1982年全国卷(理)） 如图：已知锐角 $\angle AOB=2\alpha$ 内有动点 $P$，$PM\perp OA$，$PN\perp OB$，且四边形 $PMON$ 的面积等于常数 $c^2$. 今以 $O$ 为极点，$\angle AOB$ 的角平分线 $OX$ 为极轴，求动点 $P$ 的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线.

🔍【思路分析】

破题导航

设 $P(\rho ,\theta )$，由 $OA$、$OB$ 极角分别为 $\alpha$、$-\alpha$，将四边形面积拆成两直角三角形之和，利用和差化积得到 ${\rho }^2\cos 2\theta$。

✅【答案】

Success

${\rho }^2\cos 2\theta =\frac{2c^2}{\sin 2\alpha }$（即 $x^2-y^2=\frac{2c^2}{\sin 2\alpha }$，为双曲线在 $\angle AOB$ 内的一部分）

✍【详细解析】

Abstract

设 $P$ 的极坐标为 $(\rho ,\theta )$，极轴 $OX$ 平分 $\angle AOB$，故 $OA$、$OB$ 的极角分别为 $\alpha$、$-\alpha$，且 $-\alpha <\theta <\alpha$。 $△POM$ 中，$OM=\rho \cos (\alpha -\theta )$，$PM=\rho \sin (\alpha -\theta )$， $S_{△POM}=\frac{1}{2}{\rho }^2\sin (\alpha -\theta )\cos (\alpha -\theta )=\frac{1}{4}{\rho }^2\sin (2\alpha -2\theta )$； 同理 $S_{△PON}=\frac{1}{4}{\rho }^2\sin (2\alpha +2\theta )$。 四边形面积 $S_{PMON}=\frac{1}{4}{\rho }^2[\sin (2\alpha -2\theta )+\sin (2\alpha +2\theta )]=\frac{1}{2}{\rho }^2\sin 2\alpha \cos 2\theta$（和差化积）。 令其等于 $c^2$，得 ${\rho }^2\cos 2\theta =\frac{2c^2}{\sin 2\alpha }$。 化为直角坐标：$x^2-y^2={\rho }^2\cos 2\theta =\frac{2c^2}{\sin 2\alpha }$， 即以 $O$ 为中心、实轴在 $x$ 轴上的双曲线在 $\angle AOB$ 内（右支）的部分。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标轨迹方程

核心方法：极坐标面积公式与三角恒等

避坑指南：四边形面积拆为两直角三角形之和，和差化积得 ${\rho }^2\cos 2\theta$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标下的几何最值

结论推广：${\rho }^2\cos 2\theta =\frac{2c^2}{\sin 2\alpha }$ 为双曲线在角内的一支

方法推广：极坐标面积公式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1985-全国理-04 单-极坐标方程的图象
• 1983-全国理-06 解-函数图象与极坐标方程