1977-内蒙古理-01 解-代数运算与极坐标

本题导读

本题考查开方、指数、对数、定义域、半角与极坐标的综合运算。核心在于各基础运算的准确运用。

📌【题干】

Question

（1977年内蒙古卷(理)） (1)化简 $\sqrt{4-12a+9a^2}$；

(2)计算 $\frac{(-27{)}^3\sqrt{(\frac{1}{16}{)}^{-\frac{1}{2}}}}{(-9{)}^0(\frac{3}{2}{)}^7(\frac{1}{2}{)}^{-5}}$；

(3)已知 $\lg 2=0.3010$，$f(x)={\log }_{\sqrt{10}}x$，求 $f(5)$；

(4)求函数 $y=\frac{\sqrt{1-\frac{2}{3}x}}{\sqrt[3]{3x-1}}$ 的定义域；

(5)已知 $\cos \theta =0.6$，$270^{\circ }<\theta <360^{\circ }$，求 $(\sin \frac{\theta }{2}-\cos \frac{\theta }{2}{)}^2$ 的值；

(6)把点 $P$ 的极坐标 $(-4,-\frac{4\pi }{3})$ 化成直角坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

各小问分别用开方、指数运算、换底、定义域、半角、极坐标变换公式。

✅【答案】

Success

(1)$|2-3a|$；(2)$-72$；(3)$1.398$；(4)$x<\frac{1}{3}$ 或 $\frac{1}{3}<x\le \frac{3}{2}$；(5)$1.8$；(6)$(2,-2\sqrt{3})$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$\sqrt{4-12a+9a^2}=\sqrt{(2-3a{)}^2}=|2-3a|$，即当 $a\le \frac{2}{3}$ 时为 $2-3a$，当 $a>\frac{2}{3}$ 时为 $3a-2$。 (2)原式 $=\frac{-3^9\cdot 2}{1\cdot 3^7\cdot 2^{-7}\cdot 2^5}=-3^2\cdot 2^3=-72$。 (3)$f(5)={\log }_{\sqrt{10}}5=\frac{\lg 5}{\lg \sqrt{10}}=\frac{\lg 10-\lg 2}{\frac{1}{2}\lg 10}=\frac{1-0.3010}{\frac{1}{2}}=1.398$。 (4)须 $1-\frac{2}{3}x\ge 0$ 且 $3x-1\ne 0$，得 $x\le \frac{3}{2}$ 且 $x\ne \frac{1}{3}$，定义域为 $x<\frac{1}{3}$ 或 $\frac{1}{3}<x\le \frac{3}{2}$。 (5)因 $270^{\circ }<\theta <360^{\circ }$，$\sin \theta =-\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=-0.8$，故 $(\sin \frac{\theta }{2}-\cos \frac{\theta }{2}{)}^2=1-\sin \theta =1+0.8=1.8$。 (6)$x=\rho \cos \theta =-4\cos (-\frac{4\pi }{3})=2$，$y=\rho \sin \theta =-4\sin (-\frac{4\pi }{3})=-2\sqrt{3}$，即 $(2,-2\sqrt{3})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：代数运算与极坐标

核心方法：综合运算

避坑指南：开方、指数、对数换底、定义域、半角、极坐标六小问

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：综合运算

结论推广：答案为 $|2-3a|,-72,1.398,1.8,(2,-2\sqrt{3})$

方法推广：六类基础运算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-11 填-分数指数幂
• 1985-上海文-13 单-对数函数的定义域