1990-广东理-18 单-极坐标方程与曲线

本题导读

本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，以及判断曲线类型。

📌【题干】

Question

（1990年广东卷(理)） 极坐标方程 $4\rho {\sin }^2\frac{\theta }{2}=5$ 表示的曲线是 ()

A. 圆　　　　　　B. 椭圆　　　　　　C. 抛物线　　　　　　D. 双曲线的一支

🔍【思路分析】

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利用 ${\sin }^2\frac{\theta }{2}=\frac{1-\cos \theta }{2}$ 化直角坐标。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$4\rho {\sin }^2\frac{\theta }{2}=5$ 即 $4\rho \cdot \frac{1-\cos \theta }{2}=5$，$2\rho -2\rho \cos \theta =5$。令 $\rho \cos \theta =x$，$\rho =\sqrt{x^2+y^2}$，得 $2\sqrt{x^2+y^2}-2x=5$，即 $\sqrt{x^2+y^2}=x+\frac{5}{2}$，平方得 $y^2=5x+\frac{25}{4}$，是抛物线。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标方程与曲线

核心方法：极坐标方程化直角坐标判断曲线类型。

避坑指南：极坐标化直角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标化直角坐标。

结论推广：4ρsin²(θ/2)=5 即 2ρ(1-cosθ)=5。

方法推广：ρ=x+?

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1991-三南-12 单-极坐标方程化直角坐标
• 1992-三南-07 单-椭圆的极坐标方程
• 1991-上海-10 填-圆的极坐标方程