1987-上海-20 单-极坐标方程表示的曲线

本题导读

本题考查极坐标方程表示的曲线类型。

📌【题干】

Question

（1987年上海卷） 极坐标方程 $\rho =\frac{6}{3+2\sin \left(\frac{3}{2}\pi +\theta \right)}$ 所表示的图形是()

A. 圆　　　　　　　B. 椭圆　　　　　　　C. 双曲线　　　　　　　D. 抛物线

🔍【思路分析】

破题导航

$\sin (\frac{3\pi }{2}+\theta )=-\cos \theta$，化为 $\rho =\frac{2}{1-\frac{2}{3}\cos \theta }$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

$\rho =\frac{6}{3+2\sin (\frac{3\pi }{2}+\theta )}=\frac{6}{3-2\cos \theta }=\frac{2}{1-\frac{2}{3}\cos \theta }$，与 $\rho =\frac{ep}{1-e\cos \theta }$ 对照得离心率 $e=\frac{2}{3}<1$，故为椭圆。故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标方程表示的曲线

核心方法：$\rho =\frac{6}{3+2\sin (\frac{3\pi }{2}+\theta )}=\frac{6}{3-2\cos \theta }=\frac{2}{1-\frac{2}{3}\cos \theta }$。

避坑指南：$e=\frac{2}{3}<1$，为椭圆。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标方程判定。

结论推广：$\rho =\frac{ep}{1-e\cos \theta }$，$e$ 定曲线类型。

方法推广：化为标准式看离心率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 27.01 极坐标与直角坐标互化

类题演练 (Links)

• 1988-上海-03 填-极坐标方程
• 1990-广东理-18 单-极坐标方程与曲线
• 1991-三南-12 单-极坐标方程化直角坐标